所有正整数的和是多少？

背景介绍

最近看B站看到有这样一个题。
$1+2+3+4+\cdots +\infty =?$
这不是很简单吗？没有上限，那么肯定还是$\infty$喽。

诶，和我想的一样。但是数学题是不能用直觉来做的，需要深入思考。

解题方法

首先设3个数：
$S_1=1-1+1-1+1\dots$
$S_2=1-2+3-4+5\dots$
$S=1+2+3+4+5\dots$

然后依次求解。首先是$S_1$。
我们得找个位置让它停下来，比如说偶数位，那么是0，如果是奇数位，那么是1。这就比较麻烦，所以，由于是无穷，可以看做是停在奇数位和偶数位的可能是一样的，完全一样。因此，可以得出，其和就是1和0的平均数，即$\frac{1}{2}$。
也许这样的解释并不能让人满意，因此再提供一种可靠的思路。因为$S_1$真的非常重要。

看这个图，如果能找到一个$p$，使得$0<p<1$，那么可以将其分成$p,(1-p)$两部分。然后依次类推，然后加起来趋向1，最后可以得到：
$(1-p)+p(1-p)+p^2(1-p)\cdots =1$
两边除以$(1-p)$得：
$1+p+p^2+p^3\cdots =\frac{1}{1-p}$
然而这个式子虽然发现是在1和0之间，如果不取1，则仍然有意义，因此可以将$p=-1$代入。
$1-1+1-1+1\cdots =\frac{1}{2}$
故，$S_1=\frac{1}{2}$

然后看$S_2$。
这时我们不需要在无穷的地方考虑了。我们想，将2个$S_2$加起来。即：
$1-2+3-4+5\dots$
$+1-2+3-4+5\dots$
诶，肯定不是这么加，这样和*2没什么区别。因此将其错位：
$1-2+3-4+5\dots$
$+1-2+3-4+5\dots$
然后上下对位相加可得：
$1-1+1-1+1\cdots =S_1=\frac{1}{2}$
然后由于我加了两次的$S_2$，除以2即可。因此：
$S_2=\frac{1}{4}$。

最后，用$S_2$来求解$S$。
这时，我们用$S-S_2$，得：
$1+2+3+4+5\dots$
$-(1-2+3-4+5\dots )$
上面我又进行了对齐的处理，然后可以依次相减，得到：
$0+4+0+8+0+12\dots$
$=4+8+12\dots$
$=4(1+2+3+4\dots )$

这时答案已经出来了，因为括号中的部分就是$S$，因此可以列方程得：
$S-S_2=4S$
而$S_2=\frac{1}{4}$
所以解得$S=-\frac{1}{12}$

感悟

？？？是不是不可思议，居然还是个负数。
而这个结果在物理学各方面都运用广泛。

一遍又一遍地品读，不仅没有bug，又绽放出了数学之美，奇妙啊！！

当然，如果你用计算器按出$S$的结果，是不可能的。因为你无法到达无穷，但是数学可以。
看完这个视频，不由得感慨，太妙了。