背景介绍
最近看B站看到有这样一个题。
1+2+3+4+⋯+∞=?1+2+3+4+\dots +\infty=?1+2+3+4+⋯+∞=?
这不是很简单吗?没有上限,那么肯定还是∞\infty∞喽。
诶,和我想的一样。但是数学题是不能用直觉来做的,需要深入思考。
解题方法
首先设3个数:
S1=1−1+1−1+1…S_1=1-1+1-1+1\dotsS1=1−1+1−1+1…
S2=1−2+3−4+5…S_2=1-2+3-4+5\dotsS2=1−2+3−4+5…
S=1+2+3+4+5…S=1+2+3+4+5\dotsS=1+2+3+4+5…
然后依次求解。首先是S1S_1S1。
我们得找个位置让它停下来,比如说偶数位,那么是0,如果是奇数位,那么是1。这就比较麻烦,所以,由于是无穷,可以看做是停在奇数位和偶数位的可能是一样的,完全一样。因此,可以得出,其和就是1和0的平均数,即12\dfrac{1}{2}21。
也许这样的解释并不能让人满意,因此再提供一种可靠的思路。因为S1S_1S1真的非常重要。
看这个图,如果能找到一个ppp,使得0<p<10< p<10<p<1,那么可以将其分成p,(1−p)p,(1-p)p,(1−p)两部分。然后依次类推,然后加起来趋向1,最后可以得到:
(1−p)+p(1−p)+p2(1−p)⋯=1(1-p)+p(1-p)+p^2(1-p)\dots=1(1−p)+p(1−p)+p2(1−p)⋯=1
两边除以(1−p)(1-p)(1−p)得:
1+p+p2+p3⋯=11−p1+p+p^2+p^3\dots=\dfrac{1}{1-p}1+p+p2+p3⋯=1−p1
然而这个式子虽然发现是在1和0之间,如果不取1,则仍然有意义,因此可以将p=−1p=-1p=−1代入。
1−1+1−1+1⋯=121-1+1-1+1\dots=\frac{1}{2}1−1+1−1+1⋯=21
故,S1=12S_1=\frac{1}{2}S1=21
然后看S2S_2S2。
这时我们不需要在无穷的地方考虑了。我们想,将2个S2S_2S2加起来。即:
1−2+3−4+5…\,\,\,\,1-2+3-4+5\dots1−2+3−4+5…
+1−2+3−4+5…+1-2+3-4+5\dots+1−2+3−4+5…
诶,肯定不是这么加,这样和*2没什么区别。因此将其错位:
1−2+3−4+5…\,\,\,\,1-2+3-4+5\dots1−2+3−4+5…
+1−2+3−4+5…\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+1-2+3-4+5\dots+1−2+3−4+5…
然后上下对位相加可得:
1−1+1−1+1⋯=S1=121-1+1-1+1\dots=S_1=\frac{1}{2}1−1+1−1+1⋯=S1=21
然后由于我加了两次的S2S_2S2,除以2即可。因此:
S2=14S_2=\frac{1}{4}S2=41。
最后,用S2S_2S2来求解SSS。
这时,我们用S−S2S-S_2S−S2,得:
1+2+3+4+5…\,\,\,\,\,\,1+2+3+4+5\dots1+2+3+4+5…
−(1−2+3−4+5… )-(1-2+3-4+5\dots)−(1−2+3−4+5…)
上面我又进行了对齐的处理,然后可以依次相减,得到:
0+4+0+8+0+12…\quad0+4+0+8+0+12\dots0+4+0+8+0+12…
=4+8+12…=4+8+12\dots=4+8+12…
=4(1+2+3+4… )=4(1+2+3+4\dots)=4(1+2+3+4…)
这时答案已经出来了,因为括号中的部分就是SSS,因此可以列方程得:
S−S2=4SS-S_2=4SS−S2=4S
而S2=14S_2=\frac{1}{4}S2=41
所以解得S=−112S=-\frac{1}{12}S=−121
感悟
???是不是不可思议,居然还是个负数。
而这个结果在物理学各方面都运用广泛。
一遍又一遍地品读,不仅没有bug,又绽放出了数学之美,奇妙啊!!
当然,如果你用计算器按出SSS的结果,是不可能的。因为你无法到达无穷,但是数学可以。
看完这个视频,不由得感慨,太妙了。