本文探讨了线性方程组的几何解释，包括行图像和列图像，并通过实例展示了如何解决线性方程组。同时，文章深入解析了矩阵乘向量的概念，揭示了矩阵各列线性组合的内在意义。
最近学强化学习, 大一学的数学忘了好多, 抽时间补一下 (@. @)
考虑一个线性方程组:
{2x−y=0−x+2y=3[2−1−12][xy]=[03]Ax = b \begin{cases} 2x-y=0\\[2ex] -x+2y=3 \end{cases}\\ \begin{aligned} \begin{bmatrix} 2 & -1\\ -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}&= \begin{bmatrix} 0\\ 3 \end{bmatrix}\\ A\quad\qquad\mathbf{x}\ \ \,&=\ \ \,\mathbf{b} \end{aligned} ⎩⎨⎧2x−y=0−x+2y=3[2−1−12][xy]Ax =[03]= b
Row picture:
用直角坐标系画出两条直线的图像, 找交点.
Column picture:
x[21]+y[−12]=[03]
x\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}
+y\begin{bmatrix}-1\\2\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}0\\3\end{bmatrix}
x[21]+y[−12]=[03]
求解线性方程组变为寻找列向量正确的线性组合(Linear Combination).
思考: 两个列向量所有的线性组合是什么？是整个二维空间也就是坐标平面.
让我们进入三个未知数三个变量:
{2x−y=0−x+2y−z=−1−3y+4z=4A=[2−10−12−10−34] b=[0−14] \begin{cases} 2x&-&y&&&=0\\[2ex] -x&+&2y&-&z&=-1\\[2ex] &-&3y&+&4z&=4 \end{cases}\\ A=\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -3 &4 \end{bmatrix}\ \mathbf{b}=\begin{bmatrix} 0\\-1\\4 \end{bmatrix} ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧2x−x−+−y2y3y−+z4z=0=−1=4A=⎣⎡2−10−12−30−14⎦⎤ b=⎣⎡0−14⎦⎤
Row picture:
画出三维坐标系中的三个平面, 找交点. 很难画出三个平面相交!
Column picture:
x[2−10]+y[−12−3]+z[0−14]=[0−14]
x\begin{bmatrix}2\\-1\\0\end{bmatrix}+
y\begin{bmatrix}-1\\2\\-3\end{bmatrix}+
z\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}0\\-1\\4\end{bmatrix}
x⎣⎡2−10⎦⎤+y⎣⎡−12−3⎦⎤+z⎣⎡0−14⎦⎤=⎣⎡0−14⎦⎤
显然, 解是 x=0, y=0, z=1x=0,\ y=0,\ z=1x=0, y=0, z=1
思考: 所有的线性组合是什么？是否对任意的 b\mathbf{b}b 都能求解 Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}Ax=b ?
这个问题用线性组合(column picture)的语言来说: 列的线性组合是否能覆盖整个三维空间？
对于这个 AAA , 答案是是的.
但是如果三个向量在一个平面内, 其线性组合就不能覆盖整个三维空间.
矩阵乘向量
考虑 Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}Ax=b :
[2513][12]=1[21]+2[53]=[127]
\begin{bmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} =1
\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} +2
\begin{bmatrix} 5 \\ 3 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 12 \\ 7 \end{bmatrix}
[2153][12]=1[21]+2[53]=[127]
也就是可以将 AxA\mathbf{x}Ax 看做 AAA 各列的线性组合. 这个思想也就是本门课的big picture.
也可以这样考虑:
[2513][12]=[25][12]+[13][12]=[127]
\begin{bmatrix} 2 & 5\\ 1 & 3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 2 & 5 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} 1 & 3 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 12 \\ 7 \end{bmatrix}
[2153][12]=[25][12]+[13][12]=[127]
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