数字信号处理--分清楚随机变量和样本，明白平稳性

对于我们采集到的信号或者其他数字化数据，往往使用统计学进行解释。而对于产生信号的过程，往往使用概率学来进行解释。前者对应的概念是样本，后者对应的概念是随机变量。许多DSP技术的关键就在于将样本与随机变量区分开来。

例如，每次抛硬币这个过程可以用随机变量来表示，正面和反面的概率都为0.5。但是当抛硬币这个事件发生之后，我们就得到一个个结果，即样本。抛1000次硬币，往往不会出现500次正面500次反面，我们通过这些样本计算出的正反面概率会偏离0.5，这就是样本和随机变量之间的本质区别。这种数据偏离往往呈现出随机不规律性，其被称为统计波动、统计起伏或统计噪声。

所以，当我们在文献或者书籍中看到平均值或者标准偏差时，一定要分清楚作者讲的对象是样本还是随机变量。

我们从前文：数字信号处理技术–平均值和标准偏差也可以看到，样本方差(标准偏差的平方)的公式中分母为N-1，这就是统计噪声所致：对于随机信号，N点的平均值和随机变量的平均值之间的典型偏差，为：
$$典型误差=\frac{\sigma }{\sqrt{N}}$$
当N较小时，典型偏差就大，即统计噪声就大。当N较大时，典型偏差可以趋近于0。

所以，在N较小时，样本方差的计算公式分母如果使用N，则会导致我们对随机变量的标准偏差的估计较小。而当我们使用N-1代替N时，则会获得更为准确的估计。

前面的这些论述都基于一点，所有时刻，随机信号都可以看成一个相同的随机变量。如果，一个随机信号在不同时刻是完全不同的随机变量，如下图所示。此时，在不同时刻，信号的平均值和方差都发生了变化，如果再使用前文：数字信号处理技术–平均值和标准偏差所述的估计方法显然会出现较大的误差，这些误差不来源于统计噪声，而是来自于随机信号本身。对于这一类信号，我们称其处于不稳定态，它们是一种不平稳过程。

对于此类信号，常见的分析方法就是讲信号分成多个小段，分别计算各个小段的统计值来消除误差。