15、分布式线性二次控制详解

分布式线性二次控制详解

1. 相关定理及推论

在分布式线性二次控制中，有一些重要的定理和推论。首先，对于定理 3.2，有人推测在成本函数按 (3.11) 定义的情况下，即使对调参参数的假设更宽松（甚至相邻状态差异的权重不同），该定理依然成立，相关研究正在进行中。

基于系统 A - XP 的 LQR 控制器 -R⁻¹Bᵀ(-N ˜P₂) 的稳定性和鲁棒性，得到定理 3.2 的以下推论：
- 推论 3.1 ：矩阵 A - XP + NX ˜P₂ 是 Hurwitz 矩阵。
- 推论 3.2 ：对于所有 α > 1/2（α ∈ R），A - XP + αNX ˜P₂ 是 Hurwitz 矩阵。同时，由于 A - XP 是 Hurwitz 矩阵，所以当 α = 0 时，推论 3.2 中的系统也稳定。

条件 3.1 定义了一类系统和 LQR 加权矩阵，用于扩展稳定分布式控制器结构的集合。条件 3.1 为：对于所有 α ∈ [0, 1/2]（α ∈ R），A - XP + αNX ˜P₂ 是 Hurwitz 矩阵。本质上，该条件刻画了一类系统，其 LQR 增益稳定性裕度可扩展到任何正的 α，而 A - XP 稳定并不一定能保证此性质。

检查给定 P 和 ˜P₂ 调参下条件 3.1 的有效性，可对简单仿射参数相关模型 ˙x = (A₀ + αA₁)x（其中 A₀ = A - XP，A₁ = NX ˜P₂，0 ≤ α ≤ 1/2）进行稳定性测试。此测试可转化为一个 LMI 问题，用于寻找二次参数相关的 Lyapunov 函数。

2. 分布式控制设计

<