GCD和LCM

本文无特殊说明，字母代表的都为整数

公约数定义

若d|a,d|b。则d为a和b的公约数
在d的集合中，最大的d称为最大公约数，表示为(a,b)或gcd(a,b)，最大公约数为正整数

公倍数定义

若a|c且b|c，则c为a和b的公倍数
在c的集合中，最大的c称为最大公倍数，表示为[a,b]货lcm(a，b)，最大公倍数为正整数

互质（互素）

若(a,b)=1,则a与b互质

公约数性质

由于下列性质很显然，在这里不给出证明

1.(±a±b)=(a,b)

2.(a,b)=(b,a)

3.(a,b+ax)=(a,b)

4.(a,0)=|a|

5.(a,ka)=|a|

6.(ma,mb)=m(a,b) (m>0)

7.(a,b)=d>0,则(a/d,b/d)=1

8.若b|ac且(b,c)=1,则b|a

裴蜀定理

当a,b不全为0，则有x,y，使ax+by=(a,b)
集合A={q|q=ax+by}中最小正元素为(a,b)

1.(a,b)=1,则ax+by=1

2.若m|a,m|b,则m|(a,b)。即a和b的任一公约数都是gcd(a,b)的一个约数。

公倍数性质

1.a，b的任一公倍数都是lcm(a,b)的倍数

2.(a,b)[a,b]=|ab|

玄学

更相减损术

(a,b)=(b-a,a)
(a,b,c)=(a,b-a,c-b)

欧几里得算法

(a,b)=(b,a%b)
用于写gcd：

inline int gcd(int a,int b){
    return b == 0 ? a : gcd(b,a % b);
}

虽然gcd一般使用欧几里得算法，但是在数据大的时候，即使用了高精度来存储数据时，鉴于高精度算法中模运算十分难写，往往用更相减损术

欧几里得算法二进制形态

1.若x=y,gcd(x,y)=x

2.若x,y为偶数，gcd(x,y)=2*gcd(x/2,y/2)

3.若x为偶数，y为奇数，gcd(x,y)=gcd(x/2,y)

4.若x,y为奇数，gcd(x,y)=gcd(x-y,y)