hdu 4497 GCD and LCM （gcd与lcm的关系）

最新推荐文章于 2021-07-18 23:58:10 发布

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本文介绍了解决一道数学竞赛题目的方法，题目要求找出所有满足最大公约数为G，最小公倍数为L的整数三元组(x,y,z)的数量。通过分析最大公约数与最小公倍数的关系，采用质因子分解和组合计数的方法，给出了详细的解题思路和C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：哆啦A梦传送门

题意：给出 gcd(x,y,z)=G, lcm(x,y,z)=L的G，L。找出有多少种可能对(x,y,z)，注意(1,2,3)与（1,3.2)为不同的对。

题解：

参考链接：https://blog.youkuaiyun.com/cnh294141800/article/details/14452893

前要：最大公约数G与最小公倍数L的关系

1，L%G==0。

2，设A，B的最大公约数为G，最小公倍数为L，则 L/G=(A/G)*(B/G)。

3，gcd(A/G,B/G)=1。

对于此题，gcd(x,y,z)=G，lcm(x,y,z)=L，此时我们令

x=G/x , y=G/y , z=G/z，可得 L=L/G, gcd(x,y,z)=1 , lcm(x,y,z)=L。

我们对 L 进行质因子分解 L=X1^p1*X2^p2*...。

再分别对x，y，z进行质因子分解，

x=X1^t1*X2^t2*...

y=X1^t3*X2^t4*...

z=X1^t5*X2^t6*...

那么我们可以得到 t1,t3,t5中至少有一个为0(因为它们的最大公约数为1)，至少有一个为p1(因为它们的最小公倍数为L)，故我们可以得到 (0,p1,1~p1)，此时有 A(3,2)*p1=6*p1。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn=1e7+10;

int pri[maxn],tot;
bool vis[maxn];

void init()
{
    tot=0;
    memset(vis,0,sizeof(vis));

    for(int i=2;i<maxn;i++) ///线性筛素数
    {
        if(!vis[i]){ pri[++tot]=i;}
        else{
            for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<maxn;j++){
                vis[i*pri[j]]=true;
                if(i%pri[j]==0) break;
            }
        }
    }
}

int main()
{

    init();

    int ncase,G,L;
    scanf("%d",&ncase);

    while(ncase--)
    {
        scanf("%d%d",&G,&L);

        if(L%G!=0){
            puts("0");continue;
        }

        L=L/G;

        int ans=1;

        for(int i=1;i<=tot&&pri[i]<=L;i++) ///质因子分解
        {
            if(L%pri[i]==0){
                int t=0;

                while(L%pri[i]==0){
                    L/=pri[i];
                    t++;
                }

                ans*=(6*t);
            }
        }
        if(L>1){
            ans*=(6*L);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;

}