素数与欧拉函数详解-优快云博客

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本文无特殊说明，字母代表的都为整数

素数定义

n>1,n只有2个不同的约数(1,n)，则n为素数

合数定义

大于1的非素数的正整数

1不是素数也不是合数

性质

1.p为素数，p|ab，则a与b中至少一个数被p整除

2.p为合数，p|ab且(p,a)=1,则p|b

3.素数有无穷多个

证明

由于这个性质比较有趣，所以我来证明一下
假设素数个数有限，我们把2个随机的素数相乘然后+1，得到一个新的素数，与假设相矛盾，因此素数有无穷多个

4.（标准分解）任何一个大于1的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积，n=(p1^a1)(p2^a2)….

证明

假设这个结论是错的，那么不满足这个结论的最小值为n，如果n为质数，n=n，与假设不符，而且n不是1，所以n为合数，但是合数可以写成2个小于n且大于1的数的积，即n=ab,1 < a <= b < n。由于n是不满足该结论的最小数，因此a和b都可以写成若干个质数的积，那么n当然也可以写成若干个质数的积，假设不成立，该结论正确。

筛法定义

通过一定方法得到一张表，可以查询一个数是否为质数

1.试除法

枚举2~sqrt(n)的所有数

inline bool check(int x){
    for(int i = 2;i <= sqrt(x);i++){
        if(!x%i) return 0;
    }
    return 1;
}

2.埃氏筛

如果p是质数，那么2*p,3*p…都是合数

bool f[maxn];
vector<int>q;

void find(int x){
    f[0] = f[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= x;i++){
        if(!f[i]){
            q.push_back(i);
            for(int k = i;k <= n / i;k++){
                f[i * k] = 1;
            }
        }
    }
}

线性筛

埃氏筛会在一些地方重复筛选，导致效率降低，例如12=2*6,12=3*4
线性筛就是把上例2个式子拆成同一个：12=2*2*3

vector<int>q;
int f[maxn];//f[i]为0，没有筛过，为i，是质数
void find(int x){
    for(int i = 2;i <= x;i++){
        if(!f[i]){//如果是质数 
            f[i] = i;
            q.push_back(i);
        }

        for(int k = 0;k < q.size();k++){
            if(q[k] > f[i] || q[k] > n / i) break;
            f[i * q[k]] = q[k];
        }
    }
}