特征值是否重根与特征向量及基础解系的关系

特征方程中，特征值的重数定义为代数重数；而特征值所对应的特征向量所构成空间的维数，称为几何重数。通常情况下，1≤几何重数≤代数重数）。当几何重数=代数重数时，矩阵进行相似变换处理后是对角阵；当几何重数<代数重数时，矩阵相似变换后是Jordan矩阵不一定是对角阵（非主对角线上也会有非零元素）。

注：如果n阶A矩阵可以相似对角化或者二次型（这两个实质就是A就是实对称矩阵，实对称矩阵一定可以相似对角化），那么当矩阵A对应的特征值K₁，K₂…K_i…K_n中有重根，如二重根或三重根等等。设K_m=K_n=a，那么a一定对应有两个线性无关的特征向量（因为A矩阵可以相似对角化，则存在n个线性无关的特征向量，就算有a重根，那么a重根对应的线性无关的特征向量一定有a个）

对于n阶矩阵A

• 根据特征方程可以解出特征值K₁，K₂…K_i…K_n，即特征值是否重根
• 再根据（K_iE - A）x=0（x不等于0，则（K_iE-A）x=0求的一定是非零解，x就是特征向量，即特征向量不为0，所以 1≤几何重数≤代数重数）求出基础解析（即特征值K_i对应的线性无关特征向量）
• 特征向量其实只是换了一个说法而已，在特征值领域这么叫，在方程组领域其本质就是一组解

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注：

• 当特征值K₁，K₂…K_i…K_n为不同的特征值时（即无重根），即代数重数为1，特征值Ki对应的齐次方程组（K_iE - A）x=0的基础解系的解的个数只有一个（即K_i对应的特征向量只有一个，即几何重数为1，几何重数不是0的原因见注：上面第二条）

• 当特征值K₁，K₂…K_i…K_n中存在重根时（如两重根K_a=K_b,三重根K_a=K_b=K_c），特征值重根不一定有对应重数的特征向量个数，即几何重数≤代数重数

• 特征向量的个数计算：
  基础解系的解的个数（特征向量的个数）=n - R(K_iE - A) ,与齐次方程组一样的性质（即特征值K_i对应的特征向量的个数，如果其个数等于K_i的重数）

  或基础解系的解向量的个数 = n - R(A) （解向量就是解，不同叫法）

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• 不同矩阵A,B特征值相同（A，B相似），但相同的特征值对应的特征向量不同，即P₁AP₁=P₂BP₂
• 同一个矩阵A，特征值相同（重根）对应的特征向量相同，不同的特征值对应的特征向量不同