【线性代数】【第五章】特征值与特征向量习题

一. 基本内容与重要结论

1. 基础知识

特征值与特征向量

 
特征方程

 

1. 求特征方程的行列式=0（=0意味着有解），得λ，即特征值。
2. 由各个λ，求各个特征值的基础解系。

 

相似的定义

与对角矩阵相似，则可对角化

 

2. 重要定理

特征值的特征向量的组合

• 相同特征值的特征向量的组合，也属于此特征值的特征向量
• 不同特征值的特征向量组合，不是特征向量
  

 
特征值与对角线元素的关系、特征值与行列式的关系

 

2.1.特征值与线性相关性

不同特征值之间的特征向量线性无关

 
特征值的重数与属于它的特征向量的线性无关的个数。

 

2.2. 相似与对角化

 
特征值与对角化

 

 
相似对角化的充要条件

 

2.3. 对称矩阵与正交

 

 

变换与理解

与对角相似，则有三个线性无关的特征向量。
 

二. 典型例题

1. 特征值与特征向量

题型一： 数字型矩阵

1. 求| λE- A | = 0 ，得特征值
2. 求各个特征值的通解，基础解系的自由变量=1？（也可以设为0，或其他数）

 

 

 

 
本题型主要注意

不用化成最简式，化成行阶梯矩阵就可以。对于基础解系：自由变量取值比较随机，保证容易计算即可。

 

1.直接计算

 

题型二：抽象矩阵

1. 特征值随矩阵的加、平方、逆的变换

• A+kE的特征值：λ+k，特征向量是a
• A²的特征值：λ²，特征向量是a
• $A^{-1}$ 的特征值是1/λ，特征向量是a

 

根据非齐次方程组的解得出特征等式的形式

1. 找特征等式形式：

• 由解的性质，得非齐次特解，带入非齐次方程，得特征等式形式
• 齐次基础解系，带入齐次等式，得特质等式

2. 由特征定义得特征值和特征向量。

 

题型三：相似矩阵的特征值，特征向量

解题思路：由已知式子出发，根据特征等式求

 

1. 方式一：（看到A可逆，就想到凑相似形式）（左右乘A，A-1次）相似则，有相同的特征值。
2. 方式二：特征多项式（行列式），式子相同则特征值相等。

• 利用矩阵行列式相乘公式：|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|

 

将多个向量看成整体

方式1：

线性无关想到可逆，进而可以利用相似。

相似有相同的特征值，但没有相同的特征向量，具体公式见5题。

方式2：利用定义，将2a1+a2看成整体（特征向量）。

 

2. 相似、相似对角化

相似与行列式、秩、特征值、对角之和、以及矩阵变换的关系

相似必要条件：行列式、秩、特征值、对角元素之和，相等
相似的传递性
相似的kE与n次方，相似

题型一：根据相似性质（秩相等）由A求B

由相似得秩的关系：

 

题型二：与对角相似则一定有n个线性无关向量

与对角相似，则有三个线性无关的特征向量。那么就判断特征向量。

1. 三个不同的特征值，必有三个线性无关的特征向量
2. 根据基础解系的关系n-R(A)=3-2=1,二重根只有一个解向量，不能对角化
3. 与二相反
4. 实对称矩阵一定能相似对角化。
   

 

题型三：利用相似性质判断是否相似

• 难点在于：难找p使得相似定义相等，所以要利用其他方式。
• 相似的必要条件：行列式、秩、特征值、对角线元素之和 相等。

1. 对角线元素之和不相等
2. B不可相似对角化，A肯定能，故不相似。
3. 特征向量个数不同（不用具体的特征向量）

特征值向量的求解还不熟练。

 

对角与相似的性质：对角化（满秩）+特征值一致则相似

A是实对称矩阵，则一定可以对角化。判断B是否能够对角化：即存在三个线性无关的特征向量.

• 如果不存在则不能对角化，则不相似
• 如果存在，再判断特征值是否一致。一致则说明有一样的对角矩阵，则相似。

 

相似定义式->B对角则A能对角、相似后的矩阵变换

凑相似形式，相似，则判断B是否能对角化。

1. 凑成AP=PB的()形式，得相似。B能否对角化，决定A能否对角化，简化。
2. 相似则 A+E~B+E 相似。求B+E的秩。

 

题型四 对角化与特征方程定义+齐次方程组的解

抽象，则利用定义

由题意可设A的列向量就是解向量

1. 设A的列向量，由等式得出特征等式
2. 由秩，知道齐次方程有非零解，进而可知λ=0，特征解不为0向量（重要结论）
3. 因为0不等于5，所以有三个线性无关的特征向量。

 

3. 矩阵中有未知数时特征向量的讨论

利用相似必要条件：求出未知数

必要条件：秩、对角线之和、特征值 相等

方法一：

1. 对角线之和得一个条件。
2. B找出一个特征值，让A求特征行列式=0，再得一个条件。

 

直接求特征多项式，根据重根信息，分析λ特点，求出a，进而得出基础解系的特性，判断是否可以对角化。

 

4. 求对角的可逆矩阵

求对角矩阵，以及P的标准做法

求P的方式

P这么构成的原因

重点练习

1. 特征多项式求λ，根据题意（两个不同的特征值+对角），得到λ的取值与特征向量
2. 基础解系即能构成对角可逆矩阵。

 

重点练习：凑相似形式

1. 右乘, 变换成AP=PB形式，则相似，求B的特征值就是A的特征值
2. 利用“提示结论”，先求B的P，然后再求A的P。

 

1. 利用相似特性：对角线之和、行列式相等、（秩相等=这里没用到）
2. 利用对角相似化，利用相同的对角矩阵，凑P。

 

5. 用相似(对角矩阵或相似矩阵)求$A^n$

利用相似对角矩阵来求，$A^n$

1. 求特征值：|λE-A|=0，将0带入，一个未知数一个已知条件。得a。
2. 求$A^n$:根据提示：求出P、对角的n次方，即可求出$A^n$

• 求特征值：
• 求特征向量：
• 得p，求$p^{-1}$。 { P : E } − > { E : P − 1 } \{P:E\}->\{E:P^{-1}\} {P:E}−>{E:P−1}
• 求结果:左乘行变换，右乘列变换。

 
利用相似矩阵间接求$A^{100}$

1. 求B：
2. 间接求A^100
   

 

6. 反求矩阵A

1. 利用非齐次行列式无穷多解的条件：R()小于等于2
2. 利用上面的式子求A
3. r(A²-E)：新的求法：利用上面的式子进行抽象式子变换
   

 

特征向量与齐次方程组的关系

1. 求A：

• 利用$A{a}_1={\lambda }_1{a}_1$，（矩阵相乘：一行一列相乘），可得λ。
• 求A：$A=P\ast 对角矩阵\ast P^{-1}$

2. 观察到3是A的特征值，所以通解是λ=3的通解。
   

 

7. 实对称矩阵

题型一：利用<实对称矩阵一定能够对角化>的性质

1. 利用特征定义+A²=A：得出λ=0，或1.
2. 因为是实对称矩阵所以可对角化
3. 与对角矩阵相似则秩相等，（+对角矩阵由λ组成，）对角矩阵的秩=2，所以得λ=1，1，0

 

题型二：实对称矩阵的正交化

标准题型：重点练习

1. 用特征行列式进行讨论
2. 求正交矩阵：

• 求特征向量
• 判断是否正交
• 求正交向量

 

• • 特征向量的正交问题
    

1. 对于相同特征值的不同特征向量，一定不正交

2. 对于实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量一定正交。

 

题型三：利用正交来求特征向量

从等式中得到信息

1. 等式：假设B可逆，得出A=6E的矛盾，由题意得|B|=0

2. 利用正交来求特征向量

   • 因为行列式=0，则一定有λ=0（特征值相乘=行列式）
   • R(B)=2，有两个线性无关的向量，知道6特征值，有两个特征无关的向量：
   • 实对称不同特征值的特征向量一定正交，根据正交（得齐次方程，得a1），求出λ=0特征向量。
     

3.1. 求A：知道特征值与特征向量可求A
3.2.