【LeetCode 热题100道笔记】寻找两个正序数组的中位数

题目描述

给定两个大小分别为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的 中位数 。

算法的时间复杂度应该为 $O(log(m+n))$ 。

示例 1：
输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2

示例 2：
输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

提示：

• $nums1.length==m$
• $nums2.length==n$
• $0<=m<=1000$
• $0<=n<=1000$
• $1<=m+n<=2000$
• $-10^6<=nums1[i],nums2[i]<=10^6$

思考

采用二分查找法，通过在较短数组上划分左右两部分，找到两个数组的“分割线”，使得分割线左侧的所有元素均小于等于右侧的所有元素。利用中位数的定义（分割线左右元素数量相等或相差1），通过二分调整分割线位置，最终计算出中位数。该方法时间复杂度为O(log(min(m,n)))，满足O(log(m+n))的要求。

算法核心原理

1. 中位数的本质：对于合并后长度为L的数组，中位数是第L//2个元素（奇数）或第L//2-1与L//2个元素的平均值（偶数）。
2. 分割线特性：设分割线在nums1的位置为i（左侧有i个元素），在nums2的位置为j（左侧有j个元素），需满足：
   • i + j = (m + n + 1) // 2（左侧总元素比右侧多1，确保奇数时左侧最大值为中位数）
   • nums1[i-1] <= nums2[j] 且 nums2[j-1] <= nums1[i]（左侧所有元素≤右侧所有元素）

算法过程

1. 确保短数组在前：交换nums1和nums2，使m ≤ n（在短数组上二分更高效）。
2. 二分查找分割线：
   • 初始化l=0，r=m（nums1的分割范围）。
   • 计算i = (l + r) // 2（nums1的分割位置），j = halfLen - i（nums2的分割位置，halfLen = (m + n + 1) // 2）。
   • 定义边界值（处理分割线在数组首尾的情况）：
     • maxL1：nums1左侧最大值（i=0时为-Infinity）
     • minR1：nums1右侧最小值（i=m时为Infinity）
     • maxL2：nums2左侧最大值（j=0时为-Infinity）
     • minR2：nums2右侧最小值（j=n时为Infinity）
   • 调整分割线：
     • 若maxL1 > minR2：分割线需左移（r = i - 1）。
     • 若maxL2 > minR1：分割线需右移（l = i + 1）。
     • 否则：找到有效分割线，计算中位数。
3. 计算中位数：
   • 若总长度为奇数：中位数 = max(maxL1, maxL2)。
   • 若总长度为偶数：中位数 = (max(maxL1, maxL2) + min(minR1, minR2)) / 2。

时空复杂度分析

• 时间复杂度：O(log(min(m,n)))，仅在较短数组上进行二分查找，迭代次数为log(min(m,n))。
• 空间复杂度：O(1)，仅使用常数个变量存储边界值和指针，无额外空间开销。

代码

/**
 * @param {number[]} nums1
 * @param {number[]} nums2
 * @return {number}
 */
var findMedianSortedArrays = function(nums1, nums2) {
    let [m, n] = [nums1.length, nums2.length];

    if (m > n) {
        [m, n] = [n, m];
        [nums1, nums2] = [nums2, nums1];
    }

    const halfLen = Math.floor((m + n + 1) / 2);
    
    let l = 0, r = m;
    while (l <= r) {
        let i = l + Math.floor((r-l)/2);
        let j = halfLen - i;

        let maxL1 = i === 0 ? -Infinity : nums1[i-1];
        let minR1 = i === m ? Infinity : nums1[i];
        let maxL2 = j === 0 ? -Infinity : nums2[j-1];
        let minR2 = j === n ? Infinity : nums2[j];

        if (maxL1 <= minR2 && maxL2 <= minR1) {
            const len = m + n;
            if (len % 2 === 0) {
                return (Math.max(maxL1, maxL2) + Math.min(minR1, minR2))/2;
            } else {
                return Math.max(maxL1, maxL2);
            }
        } else if (maxL1 > minR2) {
            r = i-1;
        } else if (maxL2 > minR1) {
            l = i + 1;
        }
    }
    
};