Leetcode 004. 寻找两个正序数组的中位数 | 每日一题

题目描述

给定两个大小为 m 和 n 的正序（从小到大）数组 nums1 和 nums2。请你找出并返回这两个正序数组的中位数。

**进阶：**你能设计一个时间复杂度为 O(log (m+n)) 的算法解决此问题吗？

示例 1：

输入：nums1 = [1,3], nums2 = [2]
输出：2.00000
解释：合并数组 = [1,2,3] ，中位数 2
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示例 2：

输入：nums1 = [1,2], nums2 = [3,4]
输出：2.50000
解释：合并数组 = [1,2,3,4] ，中位数 (2 + 3) / 2 = 2.5

示例 3：

输入：nums1 = [0,0], nums2 = [0,0]
输出：0.00000

示例 4：

输入：nums1 = [], nums2 = [1]
输出：1.00000

示例 5：

输入：nums1 = [2], nums2 = []
输出：2.00000

提示：

• nums1.length == m
• nums2.length == n
• 0 <= m <= 1000
• 0 <= n <= 1000
• 1 <= m + n <= 2000
• -106 <= nums1[i], nums2[i] <= 106

难度：

• 难度：困难
• 支持语言：JavaScript、Java、Python

相关标签

• 数组
• 分治算法
• 二分查找
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思路

首先了解一下 Median 的概念，一个数组中 median 就是把数组分成左右等分的中位数。

如下图：

这道题，很容易想到暴力解法，时间复杂度和空间复杂度都是O(m+n), 不符合题中给出O(log(m+n))时间复杂度的要求。
我们可以从简单的解法入手，试了一下，暴力解法也是可以被 Leetcode Accept 的. 分析中会给出两种解法，暴力求解和二分解法。

解法一 - 暴力 （Brute Force）

暴力解主要是要 merge 两个排序的数组（A，B）成一个排序的数组。

用两个pointer（i，j），i 从数组A起始位置开始，即i=0开始，j 从数组B起始位置， 即j=0开始.
一一比较 A[i] 和 B[j],

1. 如果A[i] <= B[j], 则把A[i] 放入新的数组中，i 往后移一位，即 i+1.
2. 如果A[i] > B[j], 则把B[j] 放入新的数组中，j 往后移一位，即 j+1.
3. 重复步骤#1 和 #2，直到i移到A最后，或者j移到B最后。
4. 如果j移动到B数组最后，那么直接把剩下的所有A依次放入新的数组中.
5. 如果i移动到A数组最后，那么直接把剩下的所有B依次放入新的数组中.

Merge 的过程如下图。

时间复杂度： O(m+n) - m is length of A, n is length of B

空间复杂度： O(m+n)

解法二 - 二分查找 （Binary Search）

由于题中给出的数组都是排好序的，在排好序的数组中查找很容易想到可以用二分查找（Binary Search), 这里对数组长度小的做二分，
保证数组 A 和 数组 B 做 partition 之后

len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2 - m是数组A的长度， n是数组B的长度

对数组 A 的做 partition 的位置是区间[0,m]

如图：

下图给出几种不同情况的例子（注意但左边或者右边没有元素的时候，左边用INF_MIN，右边用INF_MAX表示左右的元素：

下图给出具体做的 partition 解题的例子步骤，

• 时间复杂度： O(log(min(m, n)) - m is length of A, n is length of B_

• 空间复杂度： O(1) - 这里没有用额外的空间_

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关键点分析

1. 暴力求解，在线性时间内 merge 两个排好序的数组成一个数组。
2. 二分查找，关键点在于

• 要 partition 两个排好序的数组成左右两等份，partition 需要满足len(Aleft)+len(Bleft)=(m+n+1)/2 - m是数组A的长度， n是数组B的长度

• 并且 partition 后 A 左边最大(maxLeftA), A 右边最小（minRightA), B 左边最大（maxLeftB), B 右边最小（minRightB) 满足
  (maxLeftA <= minRightB && maxLeftB <= minRightA)

有了这两个条件，那么 median 就在这四个数中，根据奇数或者是偶数，

奇数：
median = max(maxLeftA, maxLeftB)
偶数：
median = (max(maxLeftA, maxLeftB) + min(minRightA, minRightB)) / 2

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复杂度分析

• 时间复杂度：$O(log(min(m,n)))$
• 空间复杂度：$O(log(min(m,n)))$

代码

Java 实现

解法一 - 暴力解法（Brute force）

 /* 给推荐一个大家都在用的网站：Js 中 文 网 - 全球前端挚爱的技术成长平台 https://www.javascriptc.com/ */
class MedianTwoSortedArrayBruteForce {
   
    public double findMedianSortedArrays(int[] nums1, int[] nums2) {
   
      int[] newArr = mergeTwoSortedArray(nums1, nums2);
      int n = newArr.length;
      if (n % 2 == 0) {
   
        // even
        return (double) (newArr[n / 2] + newArr[n / 2 - 1]) / 2;
      } else {
   
        // odd
        return (double) newArr[n / 2];
      }
    }
    private int[] mergeTwoSortedArray(int[] nums1, int[] nums2) {
   
      int m = nums1.length;
      int n = nums2.length;
      int[] res = new int[m + n];
      int i = 0;
      int j = 0;
      int idx = 0;
      while (i < m && j < n) {
   
        if (nums1[i] <= nums2[j]) {
   
          res[idx++] = nums1[i++];
        } else {
   
          res[idx++] = nums2[j++];
        }
      }
      while (i < m) {
   
        res[idx++] = nums1[i++];
      }
      while (j < n) {
   
        res[idx++] = nums2