19、立体学中的模型、采样与估计

立体学中的模型、采样与估计

1. 模型与二阶立体学

1.1 基于设计的方法扩展

在研究中，现有的基于设计的方法可扩展到基于模型的情况。Gundersen 和 Jensen 在 1983 年发表的论文，对大小加权的粒度分布进行了开创性研究。

如果颗粒形状不太复杂，那么通过独立截面很容易获得 $E_V(V)$。Gundersen 在 1986 年指出，该参数通常比 $E_N(V)$ 具有更高的辨别能力，且获取 $E_N(V)$ 的成本更高。此外，由于获取 $E_V(V)$ 的方法与分布无关，它可用于检验颗粒分布模型的性能。对于需要三维采样的参数，如通过 disector 采样获取 $E_N(V)$ 甚至 $f_N(v)$，在材料科学中可通过材料的连续研磨、抛光与计算机辅助截面成像相结合的方式实现。

1.2 带状和膜模型

1.2.1 模型与平均厚度

弯曲的条纹或带状物，可作为道路、河流、血管等平面地图的有用模型。在二维空间中，有界带状区域 $Y⊂R^2$ 是由两条不相交的分段光滑曲线边界 $\partial Y_1$（参考面）和 $\partial Y_2$ 所限定的狭窄空间部分。

以一个简单的带状模型为例，它由一个底边长 $l_1 = 10$ m、高 $\tau_1 = 3$ m 的水平矩形，与一个相邻的长 $l_2 = 40$ m、宽 $\tau_2 = 1$ m 的水平矩形组成。普通的平均宽度 2 m 并非该带状区域平均宽度的合理度量，更准确的计算方法是长度加权平均：
$E_L(\tau) = \frac{3×10 + 1×40}{10 + 40} = 1.4$ m
其通用公式为：