- 博客(21)
- 收藏
- 关注
RSS订阅原创 模与内积（五）矩阵分析与应用 国科大
如果一个矩阵幂等但不对称，表示投影如果一个矩阵对称幂等，表示这个矩阵是正交投影如果一个矩阵对称但不幂等或者其他，就只表示映射。
2025-11-21 23:17:04
979
原创 从多项式乘法到快速傅里叶变换
本文从多项式乘法出发，介绍了快速傅里叶变换(FFT)的设计思路。首先对比了多项式系数表示法和值表示法的优劣，指出值表示法可以通过点值相乘来降低乘法复杂度。为了解决递归分解时无法保持正负点对称的问题，引入复数单位根的概念。通过将多项式拆分为偶数和奇数两部分递归求解，最终实现了时间复杂度从O(n²)到O(nlogn)的优化。同时解释了逆FFT可以通过修改单位根指数符号来实现。整个过程展示了如何从多项式乘法问题出发，通过分治思想和复数运算，构建出高效的FFT算法。
2025-11-18 22:51:25
1437
1
原创 模与内积（四）矩阵分析与应用 国科大
首先我们需要定义一下两个函数如何做内积，在之前我们定义向量内积时，说过它本质上就是两个向量的每个对应分量做乘积再求和，但向量毕竟是离散的，而函数是连续的，连续的内积该如何定义呢？高数中有提到：离散下的求和对应在连续下就是积分，所有函数内积定义为两个函数先相乘，在对乘积做积分。对于傅里叶变换定义在上，它的内积如上图所示。
2025-11-17 21:05:26
1311
原创 模与内积（三）矩阵分析与应用 国科大
其中这个距离需满足非负性、对称性、三角不等式，其元素可以是任意集合，也就是说度量空间不一定满足加法、数乘封闭，因此，
2025-11-14 10:03:03
732
原创 模与内积（二）矩阵分析与应用 国科大
向量的范数代表了其在向量空间中的“长度”，矩阵的范数代表了其对应的线性变换的“强度”，不同的矩阵范数反应的方面也不同。通俗来说，向量范数回答 “向量有多长”，矩阵范数回答 “矩阵能把向量’变化‘多长”
2025-11-12 21:53:04
1444
原创 模与内积（一）矩阵分析与应用 国科大
向量/矩阵的模也称向量/矩阵的范数，它是有多个定义的，常见的有1模、2模、无穷模，文章会先从比较熟悉的2模开始。
2025-11-11 11:49:37
1456
原创 线性变换（四）矩阵分析与应用 国科大
限制算子不变子空间是研究线性算子结构分解的核心工具。通过将大空间分解为若干不变子空间的和，可将复杂的线性算子分解为多个小空间上的 “简单算子”，从而简化对算子性质（如特征值、可对角化）的分析。
2025-11-10 19:29:44
1539
原创 线性变换（二）矩阵分析与应用 国科大
上一篇文章证明了所有有限维下的线性变换可以构成一个向量空间，并找出了这个向量空间的基，其证明的关键在于构造，它的作用是，这个构造看起来非常奇怪，但它确实是我们想找的基向量，这个构造是如何想到的呢？这一步是证明基向量张成性的关键步骤，我们从这里来看这个构造是怎么来的先将u向量由向量空间L的基表示，再根据线性变换的可加性和齐次性（数乘封闭）将T放入求和中，再将由向量空间U的基表示，再根据乘法分配律展开。到这里，我们注意这个形式，，这里其实我们已经用一组来作为线性表出的系数，
2025-11-03 20:54:57
1495
原创 分治（一） 算法设计与分析 卜东波
分治是一种设计算法的常用思想，其将一个复杂的大问题分解为若干个容易解决的小问题逐个解决，最后再将小问题的解合并为大问题的解。例如排序中的归并排序、快速排序，都使用了分治的思想。
2025-11-01 15:20:26
680
原创 线性变换（一）矩阵分析与应用 国科大
指的是将一个在向量空间U中的向量x，通过线性变换T，映射到V空间，记为。类似之前提到的线性函数，线性变换也需要满足加法和数乘封闭的要求。
2025-10-30 19:53:32
1512
1
原创 向量空间（三）矩阵分析与应用 国科大
行等价的任意行阶梯形中的非零行数。解释：行变换不改变行的线性无关性，行阶梯形的非零行对应线性无关的行，其数量即为秩。化为行阶梯形时的主元（pivot）数量。解释：主元是行阶梯形中每行第一个非零元素，每个主元对应一个线性无关的行（或列），主元数量与秩一致。
2025-10-27 21:37:12
1608
原创 向量空间（二）矩阵分析与应用 国科大
一个向量空间中，一组线性无关的张成集成为这个向量空间的基每个向量空间都有基，而且可以有多组不同的基。零空间的基：平凡空间（零空间）的基是空集。一个向量空间的维度为其任意的基中向量的个数。本节主要通过向量的极大无关组（向量空间的最小张成集、向量组的秩）来理解向量空间的维度和基，一个向量空间的四个基本子空间的维度和基是什么，并对一些相关公式进行了证明。
2025-10-24 19:55:58
1268
原创 向量空间（一）矩阵应用与分析 国科大
本文概述了向量空间及其子空间的基本概念。向量空间是满足10条公理（包括封闭性、交换律、结合律等）的集合，元素不限于传统向量。介绍了子空间、张成空间（由线性无关向量组生成）、行/列空间等概念，并探讨了矩阵的四个关键子空间：列空间、行空间、零空间和左零空间。特别指出子空间与线性函数值域的等价关系，以及矩阵行/列等价的本质在于其行/列空间的相同性。最后通过行最简型的唯一性证明了行空间相同的矩阵必然行等价。
2025-10-20 21:49:16
1004
原创 矩阵代数（二）——LU分解 矩阵应用与分析 国科大
矩阵有三种初等变换（以行为例、列同理）：1、交换任意两行2、某一行同乘一个不为0的数3、某一行同乘一个不为0的数再加到零一行三种初等变换对应了三种初等矩阵，例如我想要互换矩阵A（三阶方阵）的一二行，就可以对其左乘下图的第一个矩阵。下面的两个公式是对初等矩阵进行分解，变为可以套用上一节介绍的公式（）的形式。我多说一下如何快速看出一个初等矩阵的逆矩阵，帮助大家理解初等矩阵如何表示初等变换的。
2025-10-17 09:38:58
1305
原创 矩阵代数（一） 矩阵分析与应用 国科大
线性函数满足的函数称为线性函数。对于一次函数来说，只有过原点的一次函数才能成为线性函数。对于线性函数和来说，如何表示两者的复合呢？通过计算我们可以看出，这个复合函数的系数其实就是通过矩阵前行×后列得到的，而对应元素相乘没有这个意义，因此把矩阵乘法定义成这样。单位矩阵：主对角线全为1，其余位置全为0的方阵。对于n阶方阵，如果或（满足其一即可），则成是的逆矩阵，记作。
2025-10-15 20:03:46
1377
原创 旅行商问题（TSP）求解 算法设计与分析 卜东波
简单来说，即一个人要进行一次旅行，需经过n个城市最后回到出发点，求解其本次旅行的最短路径是多少，其中要求经过每个城市有且仅有一次。在图中，本问题的输入：为n个顶点及其邻接矩阵D，输出为：最短路径。
2025-10-10 11:27:16
757
空空如也
空空如也
TA创建的收藏夹 TA关注的收藏夹
TA关注的人