线性变换（一）矩阵分析与应用国科大

最新推荐文章于 2025-11-23 19:13:18 发布

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#人工智能 #机器学习 #矩阵 #线性代数

我会先通过几个例子来帮助大家理解线性变换的过程，之后证明所有固定线性变换构成的向量空间的基是什么。

线性变换

线性变换是一种特殊的变换：把一个向量变为另一个向量，把一个空间变到另一个空间，这个过程就能成为变换，如果这个变换能再满足一些特殊的要求，就可以把这个变换称为之线性变换。例如，求导的过程把 $f(x)$ 变换到 $f'(x)$ ，这是一个典型的线性变换。

简单线性变换

1、伸缩 $A = \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}$

2、翻折 $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

3、关于x轴对称 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$

4、逆时针旋转 $\theta$ $A=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$

通过这几个例子可以看到，“变换”这一过程是非常抽象的概念，但我们可以通过矩阵来描述一些特殊的变换，包括投影、旋转、对称等一系列几何变换在内，都可以通过矩阵来为其定义一个通用的、求解变换后结果的方法。（大家可以回忆一下中学，如果要求解一个向量旋转之后得到的新向量，我们大概率只能通过三角函数来画图慢慢推导；但有了矩阵之后，只需要在该向量左乘旋转矩阵，就可以直接得到变换后的向量了）

线性变换的定义

$T(x)$ 指的是将一个在向量空间U中的向量x，通过线性变换T，映射到V空间，记为 $T(x)$ 。

类似之前提到的线性函数，线性变换也需要满足加法和数乘封闭的要求。

线性变换是一个矩阵吗？

不是。线性变换是一种映射关系，而矩阵只是这种映射的表示（准确来说，是映射在某个基下的特定表示）。同一线性变换在不同基下的矩阵表示不同，但变换本身的 “线性性质” 和 “映射效果” 不变。并非所有线性变换都能用矩阵表示，但有限维空间上的线性变换必然存在矩阵表示。

坐标与基

线性变换空间的基

根据之前学过的向量空间可以知道，向量空间其实是一个满足特定要求的集合。既然线性变换可以将一个向量映射为另一个向量，那么所有的线性变换是否构成一个向量空间呢？（这里的线性变换指固定向量空间之间的变换，主要是为了严谨，因为不限定定义域和目标空间的线性变换是无法构成向量空间的）如果是，那么线性变换空间的基又是什么呢？

其实由线性变换的定义就可以看出，它一定可以构成一个向量空间的，毕竟线性变换就是根据线性函数定义的，它必然满足加法和数乘封闭。

那么线性变换空间的基是什么（假设基为 $\mathcal{B}_\mathcal{L}$ ）

这里用一个具体的例子来帮助理解 $B_{ji}$ 的作用

我们可以看到，通过 $B_{ji}$ ，成功的将一个三维空间中的向量u映射到了四维空间V上。同样的对于每个向量u的三个坐标，都可以映射到四维空间V的四个基向量上，所有这样的变换总共有3×4=12个。总得来说， $B_{ji}(u)$ 的作用是将u向量的第j个系数与向量空间V中第i个基向量相乘，请牢记这个作用。

要证明 $\mathcal{B}_\mathcal{L}$ 是线性变换的基，需要证明构成这个基的向量线性无关且可张成整个空间。

证明线性无关，根据线性无关的定义，即如果 $\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m \eta_{ji} \mathbf{B}_{ji} = \mathbf{0}$ ，那么只有 $\eta _{ji}=0$ 时，这个式子才会成立。

$\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m \eta_{ji} \mathbf{B}_{ji} (u_{k})$ 的作用是将向量 $u_{k}$ 的系数与四维空间V的基向量 $v_{i}$ 相乘，由于 $u_{k}$ 是基向量，，当j ≠ k时， $\sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m \eta_{ji} \mathbf{B}_{ji} (u_{k})$ 均为0。

到这样就证明了 $B_{\iota }$ 是线性无关的。

证明 $\mathcal{B}_\mathcal{L}$ 可张成整个空间 $\mathcal{L}(\mathcal{U}, \mathcal{V})$ ，回顾张成的定义：

对于任意的 $\mathbf{T} \in \mathcal{L}(\mathcal{U}, \mathcal{V})$ ，都存在 $\alpha_{ji}$ 使得 $\mathbf{T} = \sum_{j,i} \alpha_{ji} \mathbf{B}_{ji}$

即写作

这样解释一下这个连等式：

第一个等号：向量u可以由向量空间U的基向量唯一表示。

第二个等号：利用线性变换的可加性和齐次性（数乘封闭）。这个等号，可以通过数学归纳法证明，我补充在文章最后。

第三个等号： $T(u_j)$ 是 $u_j$ 映射到向量空间V中的向量v，可以由V的基向量唯一表示。

第四个等号：乘法分配律

第五个等号：乘法交换律＋ $B_{ji}(u)$ 的定义

所以

至此，我们证明了 $\mathcal{B}_\mathcal{L}$ 的线性无关和张成性，也就证明了 $\mathcal{B}_\mathcal{L}$ 是整个线性变换空间的基。这个证明过程，需要牢记 $B_{ji}(u)$ 的作用是将u向量的第j个系数与向量空间V中第i个基向量相乘。这种构造方式不容易理解。

$\mathcal{L}(\mathcal{U}, \mathcal{V})$ 空间的维度由 $\mathcal{B}_\mathcal{L}$ 基向量的个数决定，由 $B_{ji}(u)$ 的构造方法可以知道其维度为

$\dim \mathcal{L}(U, V) = (\dim U)(\dim V)$