【非线性鲁棒控制器_sliding mode学习】_上_引入滑模控制

非线性鲁棒控制器

1、什么是鲁棒？

鲁棒对应的英文单词是Robust，显然这是直译过来的。

在维基百科上有这样一句话来解释它的含义：To achieve robust performance and/or stability in presence of bounded modeling error.

这里面需要注意的就是“存在有界的”误差。

2、一个简单的例子

（解释为什么采用鲁棒控制器，适用范围是什么）
一个系统 $\dot{x}=a{x}^2+u$
其中$a$是常数（或者变化速率非常慢，可以被看作是常数），但是未知。$x_d$是预期轨迹，误差定义为预期和实际的偏差。
控制目标：$e=x_d-x$, $e\to 0$
采用自适应控制进行设计，
得到自适应控制器：$u={\dot{x}}_d+x^2{\int }_0^{t}e{x}^{2}dt+ke$
但是，如果$a$不是常数，只是一个有界的数，用数学表达式写出来就是：
$$|a|\le |\bar{a}|$$
这种情况下怎么设计控制器呢？

3、更加general（一般）的情况

（就要用到滑模控制了，也就是被控对象里面有一个未知函数项，只知道它有界这个条件）
一个系统 $\dot{x}=f(x)+u$，$|f(x)|<\rho (x)$ (这个式子说明了$f(x)$有界)
目标是令$x\to x_d$，即$e=x_d-x$, $e\to 0$
$$\dot{e}={\dot{x}}_d-f(x)-u（1）$$
令：
$$u={\dot{x}}_d+ke+\rho \ast \frac{|e|}{e}（2）$$
这里有一个非常关键的点：$\frac{|e|}{e}=sgn(s)$，这是符号函数的意思，当e>0时，表达式为1，当e<0的时候，表达式为-1，当e=0时，表达式为0。如下图所示，可以看到这是一个分段的不连续的函数，也为后面采用其他形式的函数来替代符号函数埋下了伏笔。

接下来证明，为什么设计控制器$u={\dot{x}}_d+ke+\rho \ast \frac{|}{e}$