【非线性鲁棒控制器_sliding mode学习】_上_引入滑模控制

非线性鲁棒控制器

1、什么是鲁棒？

鲁棒对应的英文单词是Robust，显然这是直译过来的。

在维基百科上有这样一句话来解释它的含义：To achieve robust performance and/or stability in presence of bounded modeling error.

这里面需要注意的就是“存在有界的”误差。

2、一个简单的例子

（解释为什么采用鲁棒控制器，适用范围是什么）
一个系统 $\dot{x}=a{x}^2+u$
其中$a$是常数（或者变化速率非常慢，可以被看作是常数），但是未知。$x_d$是预期轨迹，误差定义为预期和实际的偏差。
控制目标：$e=x_d-x$, $e\to 0$
采用自适应控制进行设计，
得到自适应控制器：$u={\dot{x}}_d+x^2{\int }_0^{t}e{x}^{2}dt+ke$
但是，如果$a$不是常数，只是一个有界的数，用数学表达式写出来就是：
$$|a|\le |\bar{a}|$$
这种情况下怎么设计控制器呢？

3、更加general（一般）的情况

（就要用到滑模控制了，也就是被控对象里面有一个未知函数项，只知道它有界这个条件）
一个系统 $\dot{x}=f(x)+u$，$|f(x)|<\rho (x)$ (这个式子说明了$f(x)$有界)
目标是令$x\to x_d$，即$e=x_d-x$, $e\to 0$
$$\dot{e}={\dot{x}}_d-f(x)-u（1）$$
令：
$$u={\dot{x}}_d+ke+\rho \ast \frac{|e|}{e}（2）$$
这里有一个非常关键的点：$\frac{|e|}{e}=sgn(s)$，这是符号函数的意思，当e>0时，表达式为1，当e<0的时候，表达式为-1，当e=0时，表达式为0。如下图所示，可以看到这是一个分段的不连续的函数，也为后面采用其他形式的函数来替代符号函数埋下了伏笔。

接下来证明，为什么设计控制器$u={\dot{x}}_d+ke+\rho \ast \frac{|e|}{e}$可以让系统稳定。

3.1 证明稳定性Proof:

定义李雅普诺夫函数$V_{(}e)$：
$$V_{(}e)=\frac{1}{2}{e}^2（3）$$
那么对V进行求导，可以得到${\dot{V}}_{(}e)$:
$${\dot{V}}_{(}e)=e\ast \dot{e}=e({\dot{x}}_d-f(x)-u)（4）$$
把控制器u的表达式$u={\dot{x}}_d+ke+\rho \ast \frac{|e|}{e}$带进去，
$${\dot{V}}_{(}e)=e({\dot{x}}_d-f(x)-{\dot{x}}_d-ke-\rho \ast \frac{|e|}{e})$$
整理一下，得到
$${\dot{V}}_{(}e)=e(-f(x)-ke-\rho \ast \frac{|e|}{e})=-k{e}^2-ef(x)-\rho |e|(5)$$

这个时候，对式（5）进行观察，可以进行缩放了，目的就是为了找到${\dot{V}}_{(}e)$是负定的证据。

显然，
$${\dot{V}}_{(}e)=-k{e}^2-ef(x)-\rho |e|\le -k{e}^2+|e||f(x)|-\rho |e|（6）$$

注意看，这里进行了第一次缩放。这个缩放是显而易见的。

继续往下推导，把$|f(x)|\le \rho (x)$带进去
$${\dot{V}}_{(}e)=-k{e}^2-ef(x)-\rho |e|\le -k{e}^2+|e||f(x)|-\rho |e|\le -k{e}^2+|e|\rho -\rho |e|（7）$$
也就是说，
$${\dot{V}}_{(}e)\le -k{e}^2（8）$$
到目前为止，经过一次缩放，我们得到了${\dot{V}}_{(}e)$负定了。
定义的李雅普诺夫函数正定，且其导数负定，已经证明了我们设计的控制器u是合理的，是可以让系统稳定。

3.2 继续证明指数收敛

接下来的内容，是继续证明不光收敛，还是指数收敛的。
往回看，根据$V_{(}e)=\frac{1}{2}{e}^2$，可以得到$2V_{(}e)=e^2$，也就是
$${\dot{V}}_{(}e)\le -2k{V}_{(}e)（9）$$
${\dot{V}}_{(}e)+2k{V}_{(}e)\le 0$ ，这是一个微分方程不等式。
为了对这个微分方程不等式进行求解，这里引入一个函数$s(t)>0$，上面的微分不等式就变成了下面的微分方程。
$${\dot{V}}_{(}e)+2k{V}_{(}e)+s(t)=0（10）$$
把s(t)移到等式右边，可以得到
$${\dot{V}}_{(}e)+2k{V}_{(}e)=-s(t)（11）$$
解这个非齐次微分方程，可以得到它的通解：
$$V(t)=V(0)exp(-2kt)-exp(-2kt){\int }_0^{t}exp(2k\tau )s(\tau )d\tau （12）$$
其中，$exp(-2kt)=e^{-2kt}$，为了不和误差e搞混，所以指数项这么写。
对式（12）进行分析，
可以看到，$exp(-2kt){\int }_0^{t}exp(2k\tau )s(\tau )d\tau >0$
所以，
$$V(t)\le V(0)exp(-2kt)（13）$$
也就是，
$$\frac{1}{2}{e}^2(t)\le \frac{1}{2}e(0)exp(-2kt)（14）$$
两边同时开方，可以得到
$$\sqrt{\frac{1}{2}{e}^2(t)}\le \sqrt{\frac{1}{2}e(0)exp(-2kt)}（15）$$
即
$$|e(t)|\le |e(0)|exp(-kt)（16）$$
通过（16）就可以发现，误差是指数渐进收敛的（exponentially stable）

阶段性总结

系统：$\dot{x}=f(x)+u$，$|f(x)|<\rho (x)$
令 $u={\dot{x}}_d+ke+\rho \ast \frac{|e|}{e}$
这样设计控制器u，就可以实现 $t\to \infty$时，$e=x_d-x$, $e\to 0$。
$$\dot{e}={\dot{x}}_d-f(x)-u$$
把u带进去：
$$\dot{e}=-ke-f(x)-\rho (x)\frac{|e|}{e}（17）$$

对（17）这个式子的分析，就出现了滑模控制这个词。

用滑模控制来解决前面那个简单的例子

系统 $\dot{x}=a{x}^2+u$ ，$|a|\le |\bar{a}|$
那么，$a{x}^2$就是那个未知的$f(x)$
所以，有
$$|f(x)|=|a|x^2<|\bar{a}|x^2<|\bar{a}|(x^2+0.1)$$
显然，$|\bar{a}|(x^2+0.1)$ 就是那个$\rho (x)$

现在就可以用前面推导过的结论了，这个时候就是直接给出控制器的表达式$u={\dot{x}}_d+ke+\rho \ast \frac{|e|}{e}$。

令 $u=ke+{\dot{x}}_d+|\bar{a}|(x^2+0.1)\frac{|e|}{e}$
下面就可以打开simulink进行验证了。
也就是下一篇博客要写的内容啦~
【下一篇是几个控制器的稳定性证明，simulink验证放在再下一篇】

参考视频链接

Dr.Can视频链接: link.