【基于双曲正切函数的滑模控制】

基于双曲正切函数的滑模控制

采用双曲正切函数替换原来的切换函数（即符号函数），对比二者的性能。

理论推导

考虑如下被控对象：
$J\ddot{\theta }(t)=u(t)+d(t)$ （1）
其中，$J$ 为转动惯量；$\theta (t)$ 为角度；$u(t)$ 为控制输入；$d(t)$ 为外加干扰；$|dt|\le D$。

设计滑模函数为

$s(t)=ce(t)+\dot{e}(t)$
其中，$c$ 必须满足 Hurwitz 条件，即 $c>0$。

跟踪误差及其导数为
$e(t)=\theta (t)-{\theta }_d(t),\dot{e}(t)=\dot{\theta }(t)-{\dot{\theta }}_d(t)$

其中，${\theta }_d(t)$ 为理想的角度信号。

定义 Lyapunov 函数为
$V=\frac{1}{2}{s}^2$

则
$\dot{s}(t)=c\dot{e}(t)+\ddot{e}(t)=c\dot{e}(t)+\ddot{\theta }(t)-{\ddot{\theta }}_d(t)=c\dot{e}(t)+\frac{1}{J}(u+d(t))-{\ddot{\theta }}_d(t)$

且

$s\dot{s}=s\left(c\dot{e}+\frac{1}{J}(u+d(t))-{\ddot{\theta }}_d\right)$

为了保证 $s\dot{s}<0$，考虑如下两种情况设计滑模控制律。

（1）基于切换函数的滑模控制

$u(t)=J(-c\dot{e}+{\ddot{\theta }}_d-\eta s)-D\mathrm{sgn}(s)$ （2）

则

采用第 1 章附录中的引理 1，不等式 $\dot{V}\le -2\eta V$ 的解为

$V(t)\le {\mathrm{e}}^{-2\eta (t-t_0)}V(t_0)$

即 $V(t)$ 指数收敛，收敛精度取决于 $\eta$。

（2）基于双曲正切函数的滑模控制

$u(t)=J(-c\dot{e}+{\ddot{\theta }}_d-\eta s)-D\tanh \left(\frac{s}{\epsilon }\right)$ （3）

根据引理 2，有
$|s|-\tanh \left(\frac{s}{\epsilon }\right)\le \mu \epsilon$

则 $D|s|-D\tanh \left(\frac{s}{\epsilon }\right)\le D\mu \epsilon$，即$D\tanh \left(\frac{s}{\epsilon }\right)\le -D|s|+D\mu \epsilon$

进一步可知

其中，$b=\frac{1}{J}D\mu \epsilon$。

采用第 1 章附录中的引理 1，不等式 $\dot{V}\le -2\eta V+b$ 的解为

且V(t)渐进收敛，收敛精度取决于D、$\eta$ 和$ϵ$，即D越小、$\eta$ 越大、$ϵ$越小，收敛精度越小。

仿真实例

被控对象：
$J\ddot{\theta }(t)=u(t)+d(t)$ （1）
基于切换函数的滑模控制：
$u(t)=J(-c\dot{e}+{\ddot{\theta }}_d-\eta s)-D\mathrm{sgn}(s)$ （2）
基于双曲正切函数的滑模控制：
$u(t)=J(-c\dot{e}+{\ddot{\theta }}_d-\eta s)-D\tanh \left(\frac{s}{\epsilon }\right)$ （3）
把这两个式子写在一起，就可以非常明显的看出它们的异同点了。
现在给出具体的参数：$J=10$、理想轨迹 ${\theta }_d(t)=sint$、干扰$d(t)=50sint$，被控对象的初始状态为[0.5, 1.0]。
取$c=0.5$、$\eta =0.5$ 、$D=50$、$ϵ=0.02$
分别采用上面两种控制器进行仿真。

1. simulink模块搭建

2. 第一种控制器下的仿真结果

2. 第二种控制器下的仿真结果

从控制输入u的曲线中可以看到两种控制器表现的差异还是非常大的。明显采用双曲正切的要好的多。
至于怎么个好法，目前也没有掌握合适的词汇来描述。

下图为绘制的相轨迹图。
目前我还不知道怎么解释。
横坐标为误差，纵坐标为误差的导数，可以看到始终是不为0，也就是误差一直存在的，其他的就分析不出来了。