19、有限域多项式与循环码相关研究

有限域多项式与循环码相关研究

一、多项式条件分析

（一）避免特定(v)值

当(g(2)_3 = 0)时，需要避免(v = 0)以及另外多达十一个(v \in F_q)的值。

（二）不可分解性

1. 若(g(0)_3 \neq 0)，则(\text{deg} f_0 = 13)为素数。
2. 若(g(0)_3 = 0)，情况更为复杂。存在六种可能的分解类型((\omega_1, \omega_2, \rho_1, \rho_2))，分别为((3, 0, 4, 3))、((2, 1, 6, 3))、((3, 2, 4, 1))、((4, 3, 3, 0))、((4, 1, 3, 2))和((6, 3, 2, 1))。前四种可“手动”排除。对于剩下的两种，通过使((7))式中的分母相等，可得(R^3_2(x) | f_1(x))且(R^3_2(x) | f’_1(x) = A_2x^6 + A_5x^3 + A_8 \in F_q[x^3])。所以(R(x))整除(F_q[x])中的一个固定二次多项式，最多有两个根。而且(R^2(x) | f_1(x) - xf’_1(x) = (x + v^{1/9})^9)，因此(v = -\gamma^9)，其中(\gamma)是(R^2(x))的根。为确保不可分解性，最多排除两个(v)值。

（三）无重数可被(3)整除的因子

证明除少数(v)值外，(f_1)是无平方因子的。假设(\gamma \in F_q)是(f_1)的二重根，则它满足：
(f_1(x) = x^{10} + x^2g(2)_2 (x^3) + g(0)_2