90、乔治·德拉姆在可微流形上的工作解读

乔治·德拉姆在可微流形上的工作解读

1. 德拉姆定理

德拉姆定理如今已成为经典，但也稍显模糊，它涵盖了一系列结果。为更好理解，需将其置于历史背景中。庞加莱引入了流形的同调理论，还观察到每个“闭”微分形式在局部都是一个恰当微分。

设 (X) 是一个 (C^{\infty}) 类的紧致可微流形，(\Omega^p(X)) 表示 (p) 次实值 (C^{\infty}) 类微分形式的向量空间。若 (d\omega = 0)（(d) 为微分形式的外微分算子），则称微分形式 (\omega) 是闭的；若存在形式 (\gamma) 使得 (d\gamma = \omega)，则称 (\omega) 上同调于零。(p) 次上同调于零的形式构成的向量空间 (B^p\Omega(X)) 是 (p) 次闭形式空间 (Z^p\Omega(X)) 的子空间，因为 (dd = 0)。

引入 (p) 维链的概念：它是流形 (X) 中 (p) 维可微多面体的实系数形式线性组合，这些多面体假定是定向的。定义 (p) 维多面体的边界为 (p - 1) 维链，通过线性性定义链 (c) 的边界 (\partial c)，且有 (\partial(\partial c) = 0)。称 (\partial c = 0) 的 (p) 链 (c) 为 (p) 闭链；若存在 ((p + 1)) 链 (c’) 使得 (\partial c’ = c)，则称 (c) 为 (p) 边缘链。(p) 闭链向量空间除以 (p) 边缘链向量空间的商记为 (H_p(X))，这就是 (X) 在 (p) 维的实系数同调向量空间。

定义 (p) 次微分形式 (\omega) 在 (p) 链 (c) 上的积分 (\int_c\om