91、上半部分：上同调理论的基础与核心概念

上半部分：上同调理论的基础与核心概念

在数学的研究中，上同调理论是一个重要的领域，它为拓扑空间的研究提供了强大的工具。本文将深入探讨上同调理论的相关内容，包括基本概念、公理、实例以及理论之间的关系等。

1. 基本概念引入

首先，我们处于单纯形的框架下。一个单纯形集合是由一系列集合 $X_n$（$n$ 为非负整数）组成，并且配备了面映射 $d_i: X_n \to X_{n - 1}$（$0 \leq i \leq n$，$n \geq 1$）和退化映射 $s_i: X_n \to X_{n + 1}$（$0 \leq i \leq n$，$n \geq 0$），这些映射满足通常的关系。$X_n$ 中的元素被称为 $X$ 的 $n$ - 单纯形。

对于任意单纯形集合 $X$ 和阿贝尔群 $G$，$C(X; G)$ 表示 $X$ 到 $G$ 的 $n$ - 上链群，它与 $\text{Hom}(C_n(X), G)$ 等同，其中 $C_n(X)$ 是 $X$ 的 $n$ - 链群，是以 $X_n$ 为基的自由阿贝尔群。边界算子 $d: C_n(X) \to C_{n - 1}(X)$（$n \geq 1$）通过面映射的交错和定义，通过转置定义了微分算子 $\delta: C^n(X; G) \to C^{n + 1}(X; G)$，其平方为零，由此得到上同调群 $H^n(X; G)$。

当 $G$ 是交换环时，经典的惠特尼公式在 $C^ (X; G) = \bigoplus_{n \geq 0} C^n(X; G)$ 上定义了一个分次微分代数结构（结合但非交换），进而定义了上同调代数 $H^ (X; G) = \bigoplus_{n \ge