56、自激振荡的生成与分析

自激振荡的生成与分析

1. 引言

自激振荡在许多领域都有着重要的应用，如电子学、物理学等。本文将围绕自激振荡的生成展开，通过对特定微分方程的研究，分析自激振荡的特性，包括振荡曲线的形态、振幅和周期的上下限等。

2. 微分方程及相关性质

考虑如下微分方程：
[L\frac{d^{2}i}{dt^{2}}+(R - \varphi(i))\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i = 0]
其中，(L)、(R)、(C)为常数，(\varphi(i))是一个偶函数，当(i > 0)时单调递减，且当(i)趋于无穷时趋于零，同时(\varphi(0)>R)。

定义：
[L\left(\frac{di}{dt}\right)^{2}+\frac{i^{2}}{C}=U]
对其求导可得：
[\frac{dU}{dt}=2(\varphi(i)-R)\left(\frac{di}{dt}\right)^{2}]
设(\pm i_0)是使得(\varphi(i)=R)的取值。当(i)在区间((-i_0, +i_0))内时，根据上述求导结果可知(U)随(t)增大；当(i)在该区间外时，(U)随(t)减小。在(i)的最大值或最小值处，(U = \frac{i^{2}}{C})；否则，(U\to\frac{i^{2}}{C})。

3. 振荡曲线的性质

• 不可能单调变化 ：从某一时刻起，(i)不可能总是朝同一方向变化，例如持续增大。假设(i)趋于有限极限(i_1)，则(\frac{di}{dt})和(\fra