56、谐振系统的频率响应分析

谐振系统的频率响应分析

1. 引言

在电路分析中，对于并联 RLC 电路在正弦输入下的响应求解，通过解微分方程的方法往往计算繁琐。而我们通常更关注电路对正弦输入的稳态响应。绘制频率响应曲线是一种直观展示电路在稳态下对不同频率正弦信号响应的有效方式。频率响应分析主要通过绘制两个图形来进行：一是网络系统函数的对数幅度与对数频率的关系图；二是系统函数的角度与对数频率的关系图。

2. 并联 RLC 谐振电路的系统函数

我们以并联 RLC 谐振电路为例，其阻抗模型如图所示。根据阻抗法，可写出输出 (V_p) 与输入 (I_o) 的关系：
[V_p = \frac{I_o}{\frac{1}{Ls}+\frac{1}{R}+Cs}]
系统函数 (H(s)) 为：
[H(s)=\frac{V_p}{I_o}=\frac{1}{\frac{1}{Ls}+\frac{1}{R}+Cs}=\frac{s/C}{s^2 + \frac{s}{RC}+\frac{1}{LC}}]
当满足 (\omega_o > \alpha)，即 (\sqrt{\frac{1}{LC}}>\frac{1}{2RC}) 时，系统函数分母对应的特征方程会产生一对复根，此时频率响应与之前所见有显著差异。

3. 具体电路的频率响应分析

假设电路元件参数为 (L = 0.5\ \mu H)，(C = 0.5\ \mu F)，(R = 4\ \Omega)，则系统函数为：
[H(s)=\frac{2\times10^6s}{s^2 + 0.5\times10^6s + 4\times10^{12}}]
该系统为谐振系统，其频率响应的计算机生成图显示，幅度图呈现出对低频和高频信号的衰减特性，具有带通滤波器的特征。在频率为 (2\times10^6\ rad/s) 时，幅度图出现尖锐峰值，相位图有明显的相位突变。

4. 系统函数的标准形式及谐振频率

系统函数分母可写成二阶系统的标准形式：
[s^2 + 2\alpha s+\omega_o^2]
其中 (\omega_o=\sqrt{\frac{1}{LC}})，(\alpha=\frac{1}{2RC})。将系统函数进一步化简，令 (G = \frac{1}{R})，(s = j\omega)，可得：
[H(j\omega)=\frac{1}{G + j(\omega C-\frac{1}{\omega L})}]
当 (\omega C=\frac{1}{\omega L}) 时，即 (\omega=\omega_o=\frac{1}{\sqrt{LC}})，此频率称为系统的谐振频率。在我们的例子中，(\omega_o = 2\times10^6\ rad/s)，此时 (|H(j\omega_o)| = R)，电路在谐振时电感和电容的影响相互抵消，表现得像一个纯电阻。

5. 不同频率下电路的行为

• 低频情况 ：当 (\omega) 很小时，(H(j\omega)\approx j\omega L)，(V_p\approx j\omega LI_o)，(v_p(t)\approx\omega LI_o\cos(\omega t+\frac{\pi}{2}))，电路表现得像一个电感，幅度图的低频渐近线类似于电感的特性。
• 高频情况 ：当 (\omega) 很大时，(H(j\omega)\approx\frac{1}{j\omega C})，(V_p\approx\frac{I_o}{j\omega C})，(v(t)\approx\frac{I_o}{\omega C}\cos(\omega t - \frac{\pi}{2}))，电路表现得像一个电容，幅度图的高频渐近线类似于电容的特性。

6. 频率响应曲线的绘制约束

• 幅度图约束 ：
  1. 标记低频渐近线。
  2. 标记高频渐近线。
  3. 标记系统函数在谐振频率 (\omega_o) 处的幅度 (|H(j\omega_o)|)。
• 相位图约束 ：
  1. 标记低频渐近线。
  2. 标记高频渐近线。
  3. 标记系统函数在谐振频率 (\omega_o) 处的角度 (\angle H(j\omega_o))。

7. 示例分析

对于一个并联 RLC 电路，已知 (i(t)=0.1\ A\cos(2\pi ft))，(L = 0.1\ mH)，(C = 1\ \mu F)，(R = 10\ \Omega)。
- 计算转移函数 ：
[H_c=\frac{V_c}{I}=\frac{1}{\frac{1}{Ls}+\frac{1}{R}+sC}=\frac{s/C}{1/LC + \frac{s}{RC}+s^2}]
代入元件值可得：
[H_c=\frac{10^6s}{10^{10}+10^5s + s^2}]
频率响应为：
[H_c(j\omega)=\frac{j10^6\omega}{(10^{10}-\omega^2)+j10^5\omega}]
- 确定幅度图渐近线和 (\omega_o) 处的值 ：
- 低频渐近线：(H_c(j\omega)=j\frac{\omega}{10^4})
- 高频渐近线：(H_c(j\omega)=\frac{10^6}{j\omega})
- (\omega_o = 10^5\ rad/s)，(|H_c(j\omega_o)| = 10)
- 确定相位图渐近线和 (\omega_o) 处的值 ：
- 低频相位渐近线：(90^{\circ})
- 高频相位渐近线：(-90^{\circ})
- (\omega_o) 处相位：(0^{\circ})
- 计算稳态时 (v_c(t)) 的时域表达式 ：
已知 (I = 0.1\ A)，则 (v_c(t)=|0.1H_c(\omega)|\cos(\omega t+\angle H_c(\omega)))。当 (f = 1\ MHz)，即 (\omega = 2\pi\times10^6\ rad/s) 时，(v_c(t)=0.016\cos(2\pi\times10^6t - 89^{\circ}))

8. 频率响应的谐振区域分析

在频率响应的谐振区域，幅度和相位有明显的突变。为确定谐振峰的宽度，我们关注 (|H(j\omega)|) 降至其最大值的 (0.707)（即 (\frac{1}{\sqrt{2}})）时的频率 (\omega_{0.707})。
由 (G + j(\omega_{0.707}C-\frac{1}{\omega_{0.707}L}) = G(1\pm j1)) 可得：
[\omega_{0.707}^2\pm\frac{G}{C}\omega_{0.707}-\frac{1}{LC}=0]
求解得：
[\omega_{0.707}=\pm\frac{G}{2C}\pm\sqrt{(\frac{G}{2C})^2+\frac{1}{LC}}]
两个正根对应的频率之间的宽度称为带宽，(Bandwidth=\frac{G}{C}=\frac{1}{RC}=2\alpha)。

9. 品质因数 (Q) 的影响

品质因数 (Q) 定义为：
[Q=\frac{\omega_o}{G/C}=\omega_o RC=\frac{R}{\omega_o L}]
(Q) 是频率响应曲线峰值高度与渐近线交点高度之比，反映了曲线的“尖锐度”。高 (Q) 值意味着阻尼因子 (\alpha) 相对 (\omega_o) 较小，电路在阶跃或脉冲激励下会持续振荡较长时间，特征多项式的根为复数，电路处于欠阻尼状态。

10. 不同 (Q) 值的频率响应比较

通过改变 (C/L) 比值，在保持 (R) 和 (LC) 不变的情况下，可以得到不同 (Q) 值的频率响应。例如：
- (L = 0.1\ mH)，(C = 1\ \mu F)，(R = 10\ \Omega) 时，(Q = 1)
- (L = 0.05\ mH)，(C = 2\ \mu F)，(R = 10\ \Omega) 时，(Q = 2)
- (L = 0.2\ mH)，(C = 0.5\ \mu F)，(R = 10\ \Omega) 时，(Q = 0.5)

11. 谐振电路的滤波特性

利用频率响应曲线可以直观地看到谐振电路的滤波特性。靠近谐振频率的频率分量能相对无衰减地通过系统，而其他频率分量会被大幅衰减并产生相位偏移。例如，当滤波器输入为 (990\ Hz) 的方波，谐振频率为 (3000\ Hz) 时，输出近似为 (2970\ Hz) 的正弦波，因为滤波器会通过方波的三次谐波分量，而抑制基波和其他谐波。

总结

通过对并联 RLC 谐振电路频率响应的分析，我们了解了系统函数的推导、谐振频率的计算、不同频率下电路的行为以及品质因数对频率响应的影响。这些知识有助于我们设计和理解具有滤波功能的电路，在电视、广播和手机接收器等信号处理设备中具有重要应用。

流程图

graph TD;
    A[开始] --> B[确定电路元件参数];
    B --> C[计算系统函数 H(s)];
    C --> D[判断是否满足谐振条件];
    D -- 是 --> E[计算谐振频率 ωo];
    D -- 否 --> C;
    E --> F[分析不同频率下电路行为];
    F --> G[确定频率响应约束条件];
    G --> H[绘制频率响应曲线];
    H --> I[分析谐振区域和品质因数];
    I --> J[研究滤波特性];
    J --> K[结束];

表格

参数	含义	计算公式
(\omega_o)	谐振频率	(\omega_o=\sqrt{\frac{1}{LC}})
(\alpha)	阻尼因子	(\alpha=\frac{1}{2RC})
(Q)	品质因数	(Q=\omega_o RC=\frac{R}{\omega_o L})
带宽	谐振峰宽度	(Bandwidth=\frac{1}{RC}=2\alpha)

谐振系统的频率响应分析

12. 谐振频率与带宽的深入关系

从前面的分析可知，谐振频率 (\omega_o = \frac{1}{\sqrt{LC}})，带宽 (Bandwidth=\frac{1}{RC}=2\alpha)。这两个参数紧密相关，共同决定了谐振电路的频率特性。例如，当 (L) 和 (C) 固定时，改变 (R) 的值会直接影响带宽。较小的 (R) 值会使带宽变宽，意味着电路能够通过更宽范围的频率；而较大的 (R) 值会使带宽变窄，电路对频率的选择性更强。

13. 品质因数 (Q) 的进一步探讨

品质因数 (Q) 不仅反映了频率响应曲线的尖锐度，还与电路的能量存储和损耗有关。高 (Q) 值表示电路在谐振时能够存储更多的能量，而损耗相对较小。从公式 (Q=\frac{\omega_o}{2\alpha}) 可以看出，当 (\omega_o) 固定时，较小的 (\alpha)（即较小的阻尼）会导致 (Q) 值增大。在实际应用中，高 (Q) 值的电路常用于需要高频率选择性的场合，如无线电接收机中的调谐电路。

14. 频率响应曲线的精确绘制

虽然前面介绍了通过几个约束条件来大致绘制频率响应曲线，但在实际应用中，可能需要更精确的曲线。可以使用计算机辅助工具，如 MATLAB 或 Python 的相关库（如 NumPy 和 Matplotlib）来绘制。以下是一个简单的 Python 代码示例，用于绘制并联 RLC 电路的频率响应曲线：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义电路参数
L = 0.1e-3
C = 1e-6
R = 10
omega = np.logspace(3, 7, 1000)  # 频率范围从 10^3 到 10^7 rad/s

# 计算系统函数
Hc = (10**6 * 1j * omega) / ((10**10 - omega**2) + 1j * 10**5 * omega)

# 计算幅度和相位
magnitude = np.abs(Hc)
phase = np.angle(Hc, deg=True)

# 绘制幅度图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(2, 1, 1)
plt.loglog(omega, magnitude)
plt.xlabel('Frequency (rad/s)')
plt.ylabel('Magnitude')
plt.title('Frequency Response - Magnitude')

# 绘制相位图
plt.subplot(2, 1, 2)
plt.semilogx(omega, phase)
plt.xlabel('Frequency (rad/s)')
plt.ylabel('Phase (degrees)')
plt.title('Frequency Response - Phase')

plt.tight_layout()
plt.show()

15. 不同 (Q) 值下频率响应的对比分析

为了更直观地理解 (Q) 值对频率响应的影响，我们可以绘制不同 (Q) 值下的频率响应曲线。以下是一个表格，总结了不同 (Q) 值对应的电路参数和频率响应特点：

(Q) 值	(L) (mH)	(C) ((\mu F))	(R) ((\Omega))	频率响应特点
0.5	0.2	0.5	10	曲线较平缓，带宽较宽，对频率的选择性较差
1	0.1	1	10	曲线有一定的尖锐度，带宽适中
2	0.05	2	10	曲线尖锐，带宽较窄，对频率的选择性强

通过对比这些曲线，可以清晰地看到 (Q) 值如何影响电路对不同频率信号的响应。

16. 谐振电路在实际应用中的考虑因素

在实际应用谐振电路时，除了考虑谐振频率、带宽和 (Q) 值外，还需要考虑以下因素：
- 元件的非理想性 ：实际的电阻、电感和电容元件都存在一定的非理想性，如电阻的温度系数、电感的绕组电阻和电容的介质损耗等。这些非理想性会影响电路的性能，需要在设计中进行适当的补偿。
- 外界干扰 ：电路可能会受到外界电磁干扰的影响，导致频率响应发生变化。因此，需要采取适当的屏蔽措施来减少干扰。
- 功耗 ：在一些对功耗要求较高的应用中，需要选择合适的元件参数，以降低电路的功耗。

17. 谐振电路的优化设计思路

基于前面的分析，以下是一些谐振电路优化设计的思路：
- 根据应用需求选择合适的 (Q) 值 ：如果需要高频率选择性，应选择高 (Q) 值的电路；如果需要较宽的带宽，则选择低 (Q) 值的电路。
- 合理选择元件参数 ：通过调整 (L)、(C) 和 (R) 的值，来实现所需的谐振频率和带宽。
- 考虑元件的非理想性 ：在设计过程中，要考虑元件的实际特性，进行适当的补偿和调整。

18. 谐振电路的故障诊断与排除

在实际使用中，谐振电路可能会出现故障。以下是一些常见的故障及其诊断和排除方法：
- 谐振频率偏移 ：可能是由于 (L) 或 (C) 的值发生变化引起的。可以通过测量 (L) 和 (C) 的值来确定故障原因，并更换相应的元件。
- 带宽异常 ：可能是 (R) 的值发生变化或元件存在短路、开路等问题。检查 (R) 的值和电路的连接情况，修复或更换故障元件。
- 频率响应曲线异常 ：可能是由于元件损坏或外界干扰引起的。检查元件的状态，采取屏蔽措施减少干扰。

19. 谐振电路的未来发展趋势

随着电子技术的不断发展，谐振电路在通信、雷达、传感器等领域的应用越来越广泛。未来，谐振电路可能会朝着以下方向发展：
- 小型化 ：随着集成电路技术的发展，谐振电路将越来越小型化，以满足便携式设备的需求。
- 高集成度 ：将谐振电路与其他功能电路集成在一起，实现更高的系统性能。
- 智能化 ：通过引入智能控制技术，使谐振电路能够自动调整参数，适应不同的工作环境。

流程图

graph TD;
    A[实际应用谐振电路] --> B[考虑元件非理想性];
    B --> C[评估外界干扰];
    C --> D[关注功耗];
    D --> E[根据需求选择 Q 值];
    E --> F[合理选择元件参数];
    F --> G[考虑元件非理想性进行调整];
    G --> H[进行故障诊断与排除];
    H --> I[关注未来发展趋势进行优化];
    I --> J[持续改进电路性能];

表格

故障类型	可能原因	解决方法
谐振频率偏移	(L) 或 (C) 值变化	测量 (L) 和 (C) 值，更换相应元件
带宽异常	(R) 值变化或电路连接问题	检查 (R) 值和电路连接，修复或更换故障元件
频率响应曲线异常	元件损坏或外界干扰	检查元件状态，采取屏蔽措施