27、等几何分析中的多项式与基函数解析

等几何分析中的多项式与基函数解析

1. 相关操作与概念

• 节点插入 ：在不改变曲线形状的前提下，向现有的节点向量中添加新节点。
• 贝塞尔提取算子 ：对于NURBS和T - 样条，贝塞尔方形提取算子矩阵(\begin{bmatrix}CG\end{bmatrix})可将其基函数分解为伯恩斯坦多项式。该算子独立于控制点及其基函数，对T - 样条和NURBS的作用方式相同。
• 提取操作的优势 ：贝塞尔和拉格朗日提取算子会向NURBS或T - 样条网格中插入额外节点，将NURBS或T - 样条的(C^{p - 1})基函数分解为(C^0)连续多项式。每个分段(C^0)提取结果是原始(C^{p - 1})分析结果的一个片段，且能精确重现该结果，同时与有限元分析（FEA）的数据结构兼容。贝塞尔和拉格朗日提取结果仅需在有限元代码中添加额外的形状函数例程。结合伯恩斯坦基函数或拉格朗日插值子程序，提取算子可将等几何分析（IGA）的一个版本实现为增强的FEA单元级技术。当光滑的(C^{p - 1}) “iElement”基函数简化为(C^0)提取的伯恩斯坦多项式时，称之为“提取”或“iGe”，使用“iGet”仅需对FEA数据库结构进行小扩展。贝塞尔分解是一种节点插入操作，因此贝塞尔提取算子基于节点插入到节点向量时由原始控制点形成新控制点的公式。

2. 伯恩斯坦多项式

伯恩斯坦多项式用于构建B样条。对于次数为(p)的(B_{j,p}(u))，有(j = 1, 2, \cdots, (p + 1))项。设(a=(1 -