最小回文划分（回文树）

题意

将字符串s划分为k个子串s(1)+s(2)+……+s(k)，其中每个子串都是回文串，求最小的k。

O(n^2)的解法

dp[i]=min{ dp[j]+1, j<i, s[j+1……i]是回文串 }

结合回文树，假设当前节点为x，则可以写成：

dp[i]=min{ dp[i-len[y]]+1, y是x的回文后缀 }

从x开始跳fail一直跳到偶根即可。

O(nlogn)的解法

有结论：

1.将回文串x的所有回文后缀按照长度递减的方式排列后，可以根据间隔的不同划分成至多log|x|个子集，每个子集中相邻像素的间隔是一样的。

在回文树上维护额外的信息diff和slink：

diff[x]=len[x]-len[fail[x]]

slink[x]表示x所在子集的下一个子集的最长回文后缀。当diff[x]!=diff[fail[x]]时，slink[x]=fail[x]；当diff[x]==diff[fail[x]]时，slink[x]=slink[fail[x]]。

2.设x是在i位置的等差数列回文后缀子集中最长的那个，则在计算dp[i]时，所需要参考的所有dp[i-len[v]]（slink[v]==slink[x]），除了dp[i-len[slink[x]]-diff[x]]（x所在等差数列的最短回文后缀长度就是len[slink[x]]+diff[x]），在计算dp[i-diff[x]]时均已经被参考过。

我们维护一个g[x]：

while x!=偶根

        如果diff[x]==diff[fail[x]], 则g[x]=min(g[fail[x]],dp[i-len[slink[x]]-diff[x]])

        如果diff[x]!=diff[fail[x]], 则g[x]=dp[i-len[x]]      // 其实这时len[x]=len[slink[x]]+diff[x]

        dp[i]=min(dp[i],g[x]+1)

        x=slink[x]

3.设u是以i为结尾的回文后缀，diff[u]==diff[fail[u]]，那么fail[u]上一次出现的位置就是i-diff[u]。

这点保证了在g[x]参与更新dp值时具有正确的意义。

举例来说假如在j位置的状态为x，{u1，u2，u3}是x的一个回文后缀等差数列，间隔为diff[u]，设fail[u3]=v，diff[u3]!=diff[v]，即v不属于这个等差数列，由于len[u1]=len[v]+diff[u]，那么在下标i挪动到j位置的过程中，有:

当i=j-2*diff[u]时，更新g[u3]=dp[j-2*diff[u]-len[u1]]

当i=j-diff[u]时，更新g[u2]=min(g[u3]，dp[j-diff[u]-len[v]-diff[u]])

                            即g[u2]=min(dp[j-2*diff[u]-len[u1]]，dp[j-diff[u]-len[u1]]）

当i=j时，更新g[u1]=min(g[u2]，dp[j-len[v]-diff[u]])

                 即g[u1]=min(dp[j-2*diff[u]-len[u1]]，dp[j-diff[u]-len[u1]]，dp[j-len[u1]]）

                 即g[u1]=min(dp[j-len[u3]]，dp[j-len[u2]]，dp[j-len[u1]])

此时直接用g[u1]来更新dp[j]即可。