LCA问题转化为±1RMQ问题

LCA问题转RMQ问题

DFS整个树，每次进入某个节点都记录下来，就得到了一个2n-1长度的序列D（DFS序）。假设pos[i]表示节点i第一次出现在序列D中的次序，那么欧拉序列就是E[i]=pos[D[i]]。由于从节点u走到节点v的过程中必然经过LCA(u,v）且不会经过LCA(u,v）的父节点，所以节点u、v的LCA就是欧拉序列区间[pos[u], pos[v]]中最小节点（假设为w）所对应的D[w]。

Four Russian

四俄罗斯人算法就是一个分块ST表，将ST表的时间复杂度从O(nlogn)降到了O(nloglogn)，只不过常数很大。就是把原数组分为长度为logn的块，将每个块的最值处理成一个ST表，将每个块内部的查询处理成单独的ST表，这样每次查询都可以分解成对不超过3个的ST表查询。

±1RMQ

对于欧拉序列，两个相邻的u和v不是u=v+1就是u=v-1。这里把分块长度改为logn/2，所以可以把每个块转化为logn/2-1长度的二进制序列，对于转化后的二进制序列不同的块称为本质不同的块，而本质相同的块查询结果是相同的。本质不同的块的数量为2^(logn/2)=sqrt(n)，暴力处理所有本质不同的块的所有可能查询复杂度为sqrt(n)(logn)^2/4。

单调栈代替暴力求块内RMQ

对一个块内的序列运行单调栈算法，并且每次将每个元素入栈时的栈情况保存下来（因为块长度为logn/2，为节省空间可以使用状压），例如对于的序列1 3 5 2 4，存储的单调栈为00001，00010,00100,01100,10100。

对于块内最大值查询[L,R]，只需要找到R时刻单调栈内第一个≥L的元素即可（不证明），写成位操作即为：L+_builtin_ctz(mst[R]>>(L-1))。

比如查询[2,4]，首先找到单调栈mst[4]=01100，然后将其右移L-1位使其自然溢出为0110，再用_builtin_ctz计算末尾0的个数为1，最后加上L即为答案3（序号3而非数值3）。