Dijkstra算法流程和简要证明

Dijkstra算法适用于计算非负边权图的单源的最短路径。

这里我们假设源点为s，已经确定最短路径的点集为S，未确定最短路径的点集为T，D[i]代表i点的实际最短路径长度，dis[i]代表Dijkstra算法运行过程中的当前最短路径长度。

算法流程

1. 将T集中dis值最小的u点移到S集（初始时dis[s]=0其他dis值均为+∞）。

2. 用u的所有出边进行松弛操作：dis[v]=min{dis[v], dis[u]+w(u,v)}。

3. 重复1和2直到T=∅。

很明显将T集中的dis值维护为一个堆可以提高算法速度。

证明

只要证明步骤1时D[u]==dis[u]就行。

需要明确的是S集点的性质就是T集中的点存在与否不影响其最短路径，所以u点只要满足这个性质它其实就行属于S集的。

那么u点能不能找到一条路径长度小于dis[u]的路径到达源点s呢？答案是否定的。

此时u点还在T集中，T集中的任意点v要到达s必然要经过S集（直接一条边到达s也是经过S集），而v经过S集到达s的最短路径长度就是dis[v]（步骤2的结果），而u点如果能寻找到一条小于dis[u]的路径D[u]到达s，则必然要经过一条非负长度的路径到达v（从u点直接进入S集那最短路径长度就是dis[u]），然后从v点进入S再到达s的最短路径必然≥dis[u]（T集点要到达s必然要经过S集，且dis[v]≥dis[u]），因此有D[u]≥dis[u]，然而很明显D[u]≤dis[u]，因此D[u]==dis[u]。