【动态规划】回文串问题

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1.回文子串

题目链接：647. 回文子串

题目分析：

子串和子数组是一样的。

具有不同开始位置或者结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

算法原理：

对于这道题相比于动态规划，中心扩展算法和马拉车算法更优秀。

中心扩展算法：时间复杂度O(N^2)，空间复杂度O(1)
马拉车算法：时间复杂度O(N)，空间复杂度O(N)
动态规划：时间复杂度O(N^2)， 空间复杂度O(N^2)

动态规划虽然这里不是最优解，但是它的思想可以让有些回文串的困难题变成容易题。

能够将所有的子串是否是回文的信息，保存在 dp 表里面

1.状态表示

既然要把所有子串都放在dp表里面，一个一维dp肯定不够，

dp[i][j] 表示 s 字符串 [i, j] 的子串，是否是回文串

2.状态转移方程

判断 i - > j 是否是回文串，必须首先 i 位置 和 j 位置字符是相等的，如果都不相等，即使里面在好， i - > j 子串也不回文串

i 位置 和 j 位置字符相等，这里分三种情况：
i == j ， ij同一个位置 是回文子串
i + 1 == j ，ij相邻 是回文子串
还有就是 i -> j 中间有别的字符，那就看 i + 1 位置 到 j - 1 位置的子串是否是回文子串，而i + 1 位 到 j - 1 是否是回文子串就在dp[i + 1][j - 1]

3.初始化

会发生越界的就只有 dp[i + 1][j -1]，但是它会发生越界情况都已经在 i == j，i + 1 < j 这两种情况考虑到了。

4.填表顺序

dp[i][j] 可能会用到 dp[i + 1][j -1]，所以从下往上填。

5.返回值

统计dp表中true的个数。

class Solution {
   
   
public:
    int countSubstrings(string s) {
   
   
        // 1.创建 dp 表
        // 2.初始化
        // 3.填表
        // 4.返回值

        int n = s.size();
        vector<vector<bool>> dp(n, vector<bool>(n));
        int ret = 0;
        for(int i = n - 1; i >= 0; --i)
        {
   
   
            for(int j = i; j < n; ++j)
            {
   
   
                if(s[i] == s[j])
                {
   
   
                    dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;
                }
                
                if(dp[i][j]) ret += 1; // 统计个数
            }
        }
        return ret;

    }
};

2.最长回文子串

题目链接： 5. 最长回文子串

题目描述：

算法原理：

如果上面那道题搞懂了，这道题完全直接就去做就行了。可以这样做：

判断子串是否是回文 —> 用 dp 表，统计所有子串是否是回文的信息 —> 根据 dp 表的起始位置得到我们想要的结果。

起始位置 i，回文串结束位置 j，回文串长度 j - 1 + 1

1.状态表示

dp[i][j] 表示 s 字符串 [i, j] 的子串，是否是回文串

2.状态转移方程

3.初始化

无需初始化，当用到 dp[i+1][j-1] 是有条件的，当 i + 1 < j才会用，此时不会越界。只有当 i == j，i + 1 == j 才会越界，但是我们已经特殊处理过了。

4.填表顺序

dp[i][j] 可能会用到 dp[i + 1][j -1]，所以从下往上填。

5.返回值

dp 里面值为 true 的情况下，长度最大的子串的起始位置以及长度

class Solution {
   
   
public:
    string longestPalindrome(string s) {
   
   
        //1.创建 dp 表
        //2.初始化
        //3.填表
        //4.返回值

        int n = s.size(