8、无记忆玩家潜在博弈中的Logit动态与学习分析

无记忆玩家潜在博弈中的Logit动态与学习分析

1. 连续对数线性学习的收敛性

在连续行动潜在博弈中，若满足一定条件，连续对数线性学习的马尔可夫链能够追踪特定分布。具体来说，对于连续行动潜在博弈 $\Gamma = (N, {A_i}_i, {U_i}_i, \Phi)$，其中 $A$ 是紧致集，效用函数 $U_i: A \to [-1, 0]$ 在 $A$ 上连续，集合 $A^ = {a^ \in A : a^ = \arg \max_A \Phi(a)}$ 的勒贝格测度为零，且 $\max_A \Phi(a) = 0$。当参数 $\beta(t) = \frac{\ln(t + 1)}{c}$（$c$ 如命题所定义）时，由连续对数线性学习（3.26）启动的马尔可夫链 $P_{\beta(t)}$ 弱收敛于概率测度 $\Pi^ $，即当 $t \to \infty$ 时，$\Pi(t) \Rightarrow \Pi^ $，且 $\Pi^ (A^*) = 1$。

根据Portmanteau引理，在对数线性学习下，对于任意 $\epsilon > 0$，有 $\lim_{t \to \infty} \Pr{a(t) \in B_{\epsilon}^{A^ }} = 0$，其中 $B_{\epsilon}^{A^ } = {a \in A : |a - a^ | \leq \epsilon \text{ 对于所有 } a^ \in A^*}$。

2. 连续行动博弈中的独立对数线性学习

对于连续行动博弈，独立对数线性学习的运行方式如下：