2、博弈论与多智能体优化：潜在博弈设计与学习策略

博弈论与多智能体优化：潜在博弈设计与学习策略

1. 博弈论基础

1.1 混合策略效用函数

在博弈论中，混合策略版本的效用函数 $f \tilde{U} i$ 可以用勒贝格积分表示：
$\tilde{U}_i(\sigma) = \int {A} U_i(x)d\sigma(x)$
其中，$\sigma(x)$ 是玩家混合策略的联合分布。

1.2 纳什均衡

在纯（混合）策略博弈中，假设玩家是自私的且相互独立决策，博弈的稳定结果是每个玩家对其他玩家的策略做出最佳反应。
- 最佳反应定义 ：在纯（混合）策略博弈 $\Gamma = (N, {A_i} i, {U_i}_i)$（$\tilde{\Gamma} = (N, {\sigma_i(A_i)}, {\tilde{U}_i})$）中，对于玩家 $i \in [N]$，行动 $a_i^ \in A_i$（混合策略 $\sigma_i^ \in \sigma_i(A_i)$）是对其他玩家联合行动 $a {-i}$（联合混合策略 $\sigma_{-i}$）的最佳反应，如果满足：
$U_i(a_i^ , a_{-i}) = \max_{a_i \in A_i} U_i(a_i, a_{-i})$
$(\tilde{U}_i(\sigma_i^ , \sigma_{-i}) = \max_{\sigma_i \in \sigma_i(A_i)} \tilde{U} i(\sigma_i, \sigma {-i}))$