3、多智能体系统中的分布式优化与Logit动态学习

多智能体系统中的分布式优化与Logit动态学习

1. 多智能体系统中的分布式优化

在某些情况下，优化问题自然地落入博弈论框架，但潜在博弈设计无法解决这些问题。例如，在一个多智能体系统中，智能体的成本取决于联合行动，它们的共同目标是最小化系统的总体成本。

以拥塞路由问题为例，有 $n$ 个智能体需要将一定量的数据从起点传输到终点。每个用户 $i$ 传输固定量 $x_i$ 的数据会获得一定的利润，用函数 $u_i(x_i)$ 表示；同时，需要支付一定的价格 $p_i(x)$，其中 $x = \sum_{j=1}^{n} x_j$ 是起点到终点的总拥塞量。因此，智能体 $i$ 的成本为：
[c_i(x) = c_i(x_1, \cdots, x_n) = p_i(\sum_{j=1}^{n} x_j) - u_i(x_i)]
智能体的共同目标是选择合适的行动 $x_i$，以最小化全局传输成本 $C(x) = \sum_{i=1}^{n} c_i(x)$。

这种问题是多智能体系统中分布式优化的一个特例。网络系统中的一般优化问题可以表述为：考虑一个由 $n$ 个智能体组成的网络，在每个时间 $t$，节点 $i$ 只能通过通信图与邻居进行通信。智能体的目标是解决以下最小化问题：
[\min_{z \in Z \subseteq R^d} F(z) = \sum_{i=1}^{n} F_i(z)]
其中 $F_i: R^d \to R$，一般情况下 $d \neq n$。这类问题在许多应用中经常出现，例如大数据分析中统计模型的总体损失函数优化。在很多应用中，关键的一点是函数 $F_i$ 只有智能体 $i$ 知道，因此智能体需要合作并交换关于最优联合行动的