三维空间坐标变换：旋转与平移的数学描述
旋转矩阵R
首先，只考虑旋转。
假设坐标系1： { X1,Y1,Z1}\{X_1, Y_1, Z_1\}{ X1,Y1,Z1} 经过纯旋转之后得到坐标系2： { X2,Y2,Z2}\{X_2, Y_2, Z_2\}{ X2,Y2,Z2} （如上图），其中坐标系1对应的单位正交基为 (e1,e2,e3)\left(e_{1}, e_{2}, e_{3}\right)(e1,e2,e3)，坐标系2对应的单位正交基为 (e1′,e2′,e3′)\left(e_{1}^{\prime}, e_{2}^{\prime}, e_{3}^{\prime}\right)(e1′,e2′,e3′)。 对于空间中的同一个点 p\boldsymbol{p}p ，假设点 p\boldsymbol{p}p 在坐标系1和坐标系2下的坐标分别为 a1=[a1,a2,a3]T\boldsymbol{a_1} = \left[a_{1}, a_{2}, a_{3}\right]^{T}a1=[a1,a2,a3]T，a2=[a1′,a2′,a3′]T\boldsymbol{a_2} = \left[a_{1}^{\prime}, a_{2}^{\prime}, a_{3}^{\prime}\right]^{T}a2=[a1′,a2′,a3′]T。由于点 p\boldsymbol{p}p 并没有随着坐标系的旋转而发生运动，根据坐标的定义，有：
[e1,e2,e3][a1a2a3]=[e1′,e2′,e3′][a1′a2′a3′](1) \left[\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{e}_{3}\right]\left[\begin{array}{c}a_{1} \\a_{2} \\a_{3}\end{array}\right]=\left[\boldsymbol{e}_{1}^{\prime}, \boldsymbol{e}_{2}^{\prime}, \boldsymbol{e}_{3}^{\prime}\right]\left[\begin{array}{c}a_{1}^{\prime} \\a_{2}^{\prime} \\a_{3}^{\prime}\end{array}\right]\tag{1} [e1,e2,e3]⎣⎡a1a2
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