wgc2k的博客

三角函数导数这种数学关系在荡秋千、钟摆等场景中直观可见，连带记忆也有助于理解函数本质。

无论函数类型如何，求切线方程的核心步骤始终为：1. 求导得斜率2. 代入得切点3. 点斜式写方程。关键是灵活运用导数规则（各种基本法则如链式法则、商法则），并正确代入数值。

基本导数定义导数定义法的核心技巧1. 分式函数：通分后约分（如2. 根式函数：分子有理化（如或复合根式）。3. 多项式/幂函数：二项式展开后保留线性项（如4. 三角函数：利用三角恒等式和已知极限（如5. 复合函数：通过代数变形分离变量如。导数定义法的关键是通过代数技巧消除分母中的，并利用极限性质求出结果。幂法则虽然高效，但定义法是理解导数本质的基础。链式法则是处理复合函数导数的核心工具，通过分解函数、分步求导、合并结果，高效解决复杂导数问题。

高中物理学的牛顿定律求的是平均速度。为了更方便的理解运动物体的瞬间速度、距离和时间的关系，启蒙了微积分思想。可以说微积分是研究物理的过程中设计出来的数学工具。设是我们关心的时刻，是之后的一段很短的时间，用表示汽车在始于时间、终止于时间的时间段上的平均速度。

简单的概括，在一般数学书里，连续性和可导性都会放在一起。这两者其实是描述函数图像的两种平滑程度特征的数学表述。连续性是指连续函数图像可以一笔画成，而可导性是指可导函数图像有没有尖角。但是我自己总是忽略掉函数连续性的重要性，所以把这两部分分开了。这篇博客专门记录连续性设函数在点的某一邻域内有定义，如果，那么就称函数在点处连续。- 对于区间要证明函数f(x)在(a,b)内连续，需对任意，证明。即对于任意给定的正数，都能找到正数，使得当时，有。- 对于区间。

有理函数图像会有垂直渐近线，有四类行为。通过查看f(x)在x = a两边的符号可分辨具体情形。，代入x = 1得-5/0，分析分子分母符号可知双侧极限不存在，单侧极限分别为。（p、q为多项式，a为有限数）形式的极限，首先尝试将x=a代入。，对分子分母因式分解后删除公因子。恒正，可知左右极限和双侧极限都为。- 包括二次多项式的分解。- 分析分子分母符号，由于。

函数可以和它的水平渐近线相交，以f(x)=xsin(x)​为例，sin(x)的值在−1和1之间振荡，f(x)的值在y=−x1​和y=x1​之间振荡，且f(x)与sin(x)有相同零点，尽管y=f(x)的图像与坐标轴多次相交，但x轴是f(x)的水平渐近线，该极限可通过三明治定理证明。如果对于所有非常大的（分别是正的或负的）x，都有g(x)≤f(x)≤h(x)，且limx→∞​g(x)=limx→∞​h(x)=L（当x→−∞时同理），那么limx→∞​f(x)=L（或limx→−∞​f(x)=L）。

极限不存在的本质是函数在趋近过程中无法形成稳定的趋势，可能表现为方向差异、无限增长或无序震荡。

基本定义（直角三角形视角）正弦（sinθ）= 对边 / 斜边余弦（cosθ）= 邻边 / 斜边正切（tanθ）= 对边 / 邻边余割（cscθ）= 1/sinθ正割（secθ）= 1/cosθ余切（cotθ）= 1/tanθ单位圆定义（扩展至任意角）其他函数：cscθ=1/y，secθ=1/x，cotθ=x/y定义域与值域函数定义域值域sinθ所有实数[−1,1]cosθ所有实数[−1,1]tanθθ=π/2+kπ（k 为整数）所有实数cscθθ=kπ。

不同的函数类型介绍，多项式线性函数二次函数反比函数指数函数幂函数有理函数对数函数三角函数含有绝对值的函数

从函数f出发，对于给定实数y，只有当y在f的值域中时，才可能存在f定义域中的x使得f(x)=y，且可能存在多个x满足该等式（如f(x)=x2），也可能只有一个（如g(x)=x3）。理想情况下，对于f值域中的任意y，都只有唯一的x值满足f(x)=y，即不同输入对应不同输出，此时可定义f的反函数f−1。反函数f−1的定义域与f的值域相同，f−1的值域与f的定义域相同，f−1(y)是满足f(x)=y的x，即若f(x)=y，则f−1(y)=x，f−1可恢复f的变换效果。

函数，本质上是一种规则，它将一个对象转化为另一个对象。输入的对象来自定义域，而输出的对象则属于上域。例如函数f(x)=x2，在未特别声明时，其定义域和上域通常默认为全体实数集R。这里需要明确，f代表变换规则，f(x)是规则应用于x后的结果。同时，像g(x)=x2，若其定义域仅为非负数，尽管规则与f相同，但定义域的差异使它们成为不同函数，g可看作是限制f定义域所得。