数学复习（12）关于三角函数极限和求导

最新推荐文章于 2025-04-10 22:39:06 发布

wgc2k

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分类专栏： # 微积分文章标签：数学建模

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三角函数的极限

三角函数极限有两种情况，大数和小数。

一、小数情况（参数趋向0）

特征：当 $\theta \to 0$ 时， $\sin\theta \approx \theta$ ， $\cos\theta \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}$ ， $\tan\theta \approx \theta$ 。

例1：直接趋向0

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$

- 分析：当 $x \to 0$ ，参数 $3x \to 0$ ，属于小数情况。

- 解法：等价无穷小替换 $\sin(3x) \sim 3x$ ，

得： $\lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3$

例2：复合趋向0

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x^2)}{x}$

- 分析：当 $x \to 0$ ，参数 $x^2 \to 0$ ，属于小数情况。

- 解法：等价无穷小替换 $\tan(x^2) \sim x^2$ ，

得： $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \to 0} x = 0$

二、大数情况（参数趋向±∞）

特征：当 $\theta \to \pm\infty$ 时， $\sin\theta$ 和 $\cos\theta$ 振荡且无极限，需利用有界性（如 $|\sin\theta| \leq 1$ ）。

例3：直接趋向无穷

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x}$

- 分析：当 $x \to \infty$ ，参数 $x \to \infty$ ，属于大数情况。

- 解法：夹逼定理。因 $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ ，故： $-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin(x)}{x} \leq \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$ ，两边极限为0，故原式极限为0。

例4：复合趋向无穷

$\lim_{x \to 0^+} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$

- 分析：当 $x \to 0^+$ ，参数 $\frac{1}{x} \to +\infty$ ，属于大数情况。

- 解法： $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ 在 $x \to 0^+$ 时振荡于 $[-1, 1]$ ，无极限。

三、混合情况（参数与x趋向相反）

例5：x→0但参数→∞

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}$

- 分析：当 $x \to 0$ ，参数 $\frac{1}{x} \to \infty$ ，属于大数情况。

- 解法： $|\sin\left(\frac{1}{x}\right)| \leq 1$ ，但分母 $x \to 0$ ，导致整体趋向 $\pm\infty$ （极限不存在）。

例6：x→∞但参数→0

$\lim_{x \to \infty} x \cdot \sin\left(\frac{5}{x}\right)$

- 分析：当 $x \to \infty$ ，参数 $\frac{5}{x} \to 0$ ，属于小数情况。

- 解法：令 $t = \frac{5}{x}$ ，则 $t \to 0$ ，原式变为： $\lim_{t \to 0} \frac{5}{t} \cdot \sin(t) = 5 \cdot \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t} = 5 \cdot 1 = 5$

四、非典型情况（参数既不趋向0也不趋向∞）

例7：参数趋向非零常数

$\lim_{x \to 1} \frac{\cos(x-1)}{x-1}$

- 分析：当 $x \to 1$ ，参数 $x-1 \to 0$ ，属于小数情况。

- 解法：等价无穷小替换 $\cos(x-1) \sim 1 - \frac{(x-1)^2}{2}$ ，

得： $\lim_{x \to 1} \frac{1 - \frac{(x-1)^2}{2}}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{x-1} - \frac{x-1}{2}$

第一项趋向 $\pm\infty$ ，第二项趋向0，故极限不存在。

五、常见错误示例

错误1：误用等价无穷小到大数情况

$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin(x)}{x}$ （误）直接替换为 $\quad \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} = 1$

- 错误原因：当 $x \to \infty$ ， $\sin(x)$ 不趋向0，不能用等价无穷小。

错误2：忽略参数实际趋向

$\lim_{x \to 0} \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ （误）认为 $\quad \frac{1}{x} \to 0$ 而直接得0

- 错误原因： $x \to 0$ 时 $\frac{1}{x} \to \infty$ ，属于大数情况，需分析振荡性。

总结：解题流程图

1. 确定参数趋向：分析 $\theta = f(x)$ 当 $x \to a$ 时的趋向（0、±∞或其他）。

2. 分类处理： - 小数情况 $( \theta \to 0 )$ ：等价无穷小替换或泰勒展开。

- 大数情况（ $\theta \to \pm\infty$ ）：利用有界性结合夹逼定理。

- 其他情况：单独分析（如洛必达法则、变量替换）。

通过这些例子，可以清晰区分三角函数极限的不同场景及解题策略。

等价无穷小的替换规则也很重要。通常在乘积或商的情况下，可以直接替换，但在加减的情况下需要谨慎，可能会导致错误。例如，当计算 lim (x→0) (sinx - tanx)/x³ 时，不能直接将 sinx 和 tanx 都替换为 x，否则会得到 0，但实际上需要用泰勒展开或其他方法处理。

三、其他情况（比如三角函数）

计算极限 $\lim_{x \to \pi} \frac{\cos x + 1}{x - \pi}$

分步解析

1. 问题识别

- 直接代入 $x = \pi$ ： $\frac{\cos \pi + 1}{\pi - \pi} = \frac{-1 + 1}{0} = \frac{0}{0}$ （不定式）

2. 变量替换

- 设 $t = x - \pi$ ，则当 $x \to \pi$ 时， $t \to 0$ 。

- 代入后， $x = \pi + t$ ，原式变为： $\lim_{t \to 0} \frac{\cos(\pi + t) + 1}{t}$

3. 三角恒等式化简

- 利用 $\cos(\pi + t) = -\cos t$ ：

$\frac{-\cos t + 1}{t} = \frac{1 - \cos t}{t}$

4. 应用已知极限

- 已知 $\lim_{t \to 0} \frac{1 - \cos t}{t} = 0$ （可通过泰勒展开或几何意义验证）。

5. 最终结果 $\lim_{x \to \pi} \frac{\cos x + 1}{x - \pi} = 0$

核心思想总结

1. 变量替换平移：通过 $t = x - a$ 将非零点极限转化为 $t \to 0$ 。

2. 三角恒等式：利用角度和差公式简化表达式（如 $\cos(\pi + t) = -\cos t$ ）。

3. 已知极限：结合基本极限结论（如 $\lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ ）。

应用场景：适用于所有涉及三角函数在非零点的不定式极限问题

（如 $\lim_{x \to a} \frac{\sin x}{x - a}$ 、 $\lim_{x \to a} \frac{\cos x - c}{x - a}$ ）。

四、一个非常重要的公式推导

笔者注：数学上的的构建技巧，找出元图形，分别找出比原图形大和比原图形小的两个辅助图形，然后构建函数，找出三个函数之间关系。

通过几何方法和三明治定理证明当 $x \to 0$ 时， $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 。

1. 几何构造与面积比较

（1）扇形面积分析

- 扇形 OAB：半径为 1，圆心角为 $x$ 弧度。

- 面积公式：扇形面积 = $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \cdot 1^2 \cdot x = \frac{x}{2}$ 。

（2）三角形面积分析

- 三角形 ΔOAB： - 底为 OB（长度 1），高为 AC（$ |AC| = \sin x $）。

- 面积 = $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sin x = \frac{\sin x}{2}$ 。

- 三角形 ΔOBD： - 底为 OB（长度 1），高为 DB（$ |DB| = \tan x $）。

- 面积 = $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \frac{\tan x}{2}$ 。

（3）面积不等式

- 几何关系：ΔOAB ⊂ 扇形 OAB ⊂ ΔOBD。

- 面积比较： ΔOAB 面积 < 扇形 OAB 面积 < ΔOBD 面积

代入公式得： $\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\tan x}{2}$

两边乘 2 得： $\sin x < x < \tan x$

2. 不等式变形与极限推导

（1）取倒数并化简

- 原不等式： $\sin x < x < \tan x$ 。

- 取倒数（注意方向改变）： $\frac{1}{\sin x} > \frac{1}{x} > \frac{1}{\tan x}$

- 代入 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ：

$\frac{1}{\sin x} > \frac{1}{x} > \frac{\cos x}{\sin x}$

- 两边乘 $\sin x$ $( \sin x > 0$ 当 $x \to 0^+$ ）：

$1 > \frac{\sin x}{x} > \cos x$

即： $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

2）应用三明治定理

- 左极限：当 $x \to 0^+$ ， $\cos x \to 1$ 。

- 右极限：当 $x \to 0^+$ ，右侧为 1。

- 三明治定理：若 $\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$ ，

且 $\lim_{x \to 0^+} \cos x = 1$ ，

则： $\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1$

3. 左极限与双侧极限

（1）变量替换法

- 左极限：

令 $t = -x$ ，则 $x \to 0^-$ 时， $t \to 0^+$ 。

- 表达式转换： $\lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin(-t)}{-t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{-\sin t}{-t} = \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t} = 1$

（2）双侧极限

- 右极限和左极限均为 1，故：

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

4. 函数图像与连续性

（1）偶函数性质

- 偶函数定义： $f(-x) = f(x)$ 。

- 验证：

$f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x} = f(x)$

因此， $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 是偶函数，图像关于 y 轴对称。

（2）补充连续性

- 原函数： $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ 在 $x = 0$ 处无定义。

- 扩展定义：定义 $g(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$ ，

则 $g(x)$ 在 $x = 0$ 处连续。

5. 图像特征

- 截距：

所有非零整数倍的 π（如 $x = \pm \pi, \pm 2\pi, \dots$ ）。

- 包络线：

被 $y = \frac{1}{x}$ 和 $y = -\frac{1}{x}$ 限制，振幅随 $x \to \infty$ 衰减。

- 对称性：关于 y 轴对称，在 $x = 0$ 处补充点 (0, 1)。

总结

通过几何构造和三明治定理，我们严格证明了 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 。

这一结果是微积分中处理三角函数极限的基础，同时也揭示了正弦函数在原点附近的线性近似特性 $\sin x \approx x$ 。

三角函数的导数

三角函数导数推导

1. 基本三角函数导数

- 正弦函数： $f(x) = \sin(x)$

导数： $f'(x) = \cos(x)$

推导过程：利用极限定义 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}$ ，

结合和角公式 $\sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)$ ，分离含 $h$ 的项并应用已知极限 $\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1$ 和 $\lim_{h \to 0} \frac{\cos(h)-1}{h} = 0$ 。

- 余弦函数： $f(x) = \cos(x)$

导数： $f'(x) = -\sin(x)$

推导提示：类似正弦函数，使用和角公式 $\cos(x+h) = \cos(x)\cos(h) - \sin(x)\sin(h)$ ，并应用相同极限。

2. 其他三角函数导数（商法则与链式法则

- 正切函数： $y = \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

导数： $y' = \sec^2(x)$

推导：设 $u = \sin(x)$ , $v = \cos(x)$ ，

应用商法则： $y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} = \sec^2(x).$

- 正割函数： $y = \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$

导数： $y' = \sec(x)\tan(x)$

推导：使用链式法则，设 $u = \cos(x)$ ，则 $y = \frac{1}{u}$ ，

求导得： $y' = -\frac{1}{u^2} \cdot u' = -\frac{1}{\cos^2(x)} \cdot (-\sin(x)) = \sec(x)\tan(x).$

- 余割函数： $y = \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$

导数： $y' = -\csc(x)\cot(x)$

推导：类似正割函数，设 $u = \sin(x)$ ，

应用链式法则： $y' = -\frac{1}{\sin^2(x)} \cdot \cos(x) = -\csc(x)\cot(x).$

- 余切函数： $y = \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

导数： $y' = -\csc^2(x)$

推导：应用商法则或链式法则（如设 $y = \frac{1}{\tan(x)}$ ），

结果为： $y' = -\frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin^2(x)} = -\frac{1}{\sin^2(x)} = -\csc^2(x).$

3. 二阶导数性质

-正弦函数： $f''(x) = -\sin(x)$ （二阶导为负的原函数）

- 余弦函数： $f''(x) = -\cos(x)$ （同理

4. 记忆技巧

- 余函数导数规律：余弦、余割、余切的导数均带负号，且导数形式为对应正函数导数的“余形式”。

例如： - $\sec'(x) = \sec(x)\tan(x)$ → $\csc'(x) = -\csc(x)\cot(x)$ 。

- $\tan'(x) = \sec^2(x)$ → $\cot'(x) = -\csc^2(x)$ 。

最终公式表

函数	导数
$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\cos(x)$	$-\sin(x)$
$\tan(x)$	$\sec^2(x)$
$\sec(x)$	$\sec(x)\tan(x)$
$\csc(x)$	$-\csc(x)\cot(x)$
$\cot(x)$	$-\csc^2(x)$

关键方法：利用极限定义推导基本导数，通过商法则和链式法则扩展至其他函数，注意余函数导数的负号规律。

三角函数导数解释荡秋千

荡秋千基本上算是一种简谐运动，用这个例子比较容易理解。

荡秋千的简谐运动分析

0. 物理场景

小明荡秋千时，从最高点（位移最大处）释放，开始周期性摆动。我们将最低点设为位移零点（ $x=0$ ）。

1. 位移公式

假设位移随时间变化为： $x(t) = A \cos(\omega t)$

- $A$ ：振幅（最大位移，如 $A=2$ 米）

- $\omega$ ：角频率（决定摆动快慢）

2. 一阶导数（速度）

速度是位移的一阶导数： $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t)$

- 最高点（ $x=A$ ）： $\cos(\omega t) = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin(\omega t) = 0 \quad \Rightarrow \quad v = 0$ （此时速度为零，即将反向运动）

- 最低点（ $x=0$ ）： $\cos(\omega t) = 0 \quad \Rightarrow \quad \sin(\omega t) = \pm1 \quad \Rightarrow \quad v = \pm A\omega$ （此时速度最大，方向取决于摆动方向）

3. 二阶导数（加速度）

加速度是速度的一阶导数（位移的二阶导数）：

$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t) = -\omega^2 x(t)$

- 最高点（ $x=A$ ）：

$a = -\omega^2 A$ （加速度最大，方向指向最低点）

- 最低点（ $x=0$ ）： $a = 0$ （加速度为零，此时合力为零）

4. 物理对应关系

位置	位移x	速度v	加速度a	物理意义
最高点	A	0	$-\omega^2 A$	速度为零，开始加速回落
向下摆动中	减小	增大（负）	减小（负）	速度方向向下，加速度减小
最低点	0	−Aω	0	速度最大，无加速度
向上摆动中	增大（负）	减小（负）	增大（正）	速度方向向上，加速度增大