数学复习（5）关于极限（一）

基本思想

极限的基本思想是描述一个变量在无限趋近于某个目标值时的动态趋势，其核心在于刻画 “无限接近但永远不达到” 的过程。

1. 趋近性：当自变量（如 x）无限接近某个特定值（如 a）时，因变量（如 f (x)）会无限接近一个确定的数值 L。这个过程可以理解为 “越来越接近，但永不重合”。

2. 动态性：极限研究的是变量在变化过程中的最终趋势，而非某个具体时刻的状态。例如，当 x 趋近于 0 时，sin (x)/x 的比值无限接近 1，这一过程体现了函数在 x=0 附近的行为特征。

3. 精确性：数学上通过 ε-δ 语言严格定义极限，确保 “无限接近” 的描述具有可验证性。例如，对于任意给定的正数 ε，总存在正数 δ，使得当 x 满足 0<|x-a|<δ 时，|f (x)-L|<ε 成立。

4. 桥梁作用：极限是连接有限与无限、离散与连续的数学工具，是微积分的基础。导数（瞬时变化率）和积分（无穷累加）的定义均依赖于极限思想。

例如，中国古代的割圆术，这一过程即体现了极限思想。

左极限和右极限

左极限和右极限是描述函数在某一点单侧趋近行为的数学概念，其核心在于刻画自变量从不同方向接近目标值时，函数的变化趋势。

1. 定义与符号

   • 左极限：当自变量 x 从左侧（即 x<a 的方向）无限趋近于 a 时，函数 f(x) 的极限，记为 limx→a−​f(x)=L。
   • 右极限：当自变量 x 从右侧（即 x>a 的方向）无限趋近于 a 时，函数 f(x) 的极限，记为 limx→a+​f(x)=M。

2. 几何意义
   左极限对应函数图像在 x=a 左侧的趋势，右极限对应右侧的趋势。例如，对于分段函数：\ f(x)={x+1,x−1,​x<0x≥0​
   在 x=0 处，左极限为 1，右极限为 −1，表明函数在该点两侧的行为不同。

3. 存在性与函数极限的关系

   • 当且仅当左极限 L 和右极限 M 都存在且相等时，函数在 x=a 处的极限 limx→a​f(x) 存在，且等于 L=M。
   • 若左右极限不相等（如上述分段函数），则函数在该点无极限。

4. 应用场景

   • 分析分段函数、绝对值函数或含跳跃点的函数在特定点的行为。
   • 研究函数在边界点（如区间端点）的连续性或可导性。
   • 解决物理问题中运动方向变化时的瞬时状态（如碰撞前后的速度）。

示例：
函数 f(x)=∣x∣​/x 在 x=0 处，左极限为 −1（当 x→0− 时，∣x∣=−x），右极限为 1（当 x→0+ 时，∣x∣=x），因此 limx→0​f(x) 不存在。

何时不存在极限

注：DNE = Does Not Exist（不存在）

一、单侧极限不相等

当自变量从左右两侧趋近于某点时，函数呈现不同的趋势：

• 几何表现：函数图像在该点两侧趋向不同数值（如分段函数在分界点）。
• 数学条件：\ limx→a−​f(x)=limx→a+​f(x)
• 示例：\ 在处，左右极限分别为和。

二、函数趋向无穷大

当自变量趋近于某点时，函数绝对值无限增大：

• 符号表示：\ limx→a​f(x)=+∞或limx→a​f(x)=−∞
• 本质特征：函数值不收敛于任何有限数，属于极限不存在的特殊情形。
• 示例：\ 在处，左右极限分别为和。

三、震荡不收敛

函数在趋近过程中无限震荡，无法稳定趋向某一值：

• 典型表现：振幅不衰减且无周期性稳定趋势。
• 数学描述：\ 当 x→a 时， f(x) 在 L1​ 与 L2​ 之间无限震荡（L1​！=L2​）
• 示例：\ f(x)=sin(x​1​)在 x→0+ 时，振幅不衰减且无极限。

四、其他不规则行为

1. 跳跃不连续：函数在某点附近反复跳跃，如 Dirichlet 函数在有理数与无理数间震荡。
2. 定义域不连通：函数在该点附近无定义区域导致无法趋近，如 f(x)=x​ 在 x→−1 时无实数值。

总结：极限不存在的本质是函数在趋近过程中无法形成稳定的趋势，可能表现为方向差异、无限增长或无序震荡。

自变量趋向于无穷

在数学分析中，无穷大（+∞ 和 −∞）处的极限用于描述函数在自变量无限增大或减小时的行为趋势。以下是其核心概念和特点：

一、定义与符号

1. 正无穷处的极限
   当自变量 x 无限增大（即 x→+∞）时，若函数 f(x) 趋近于某个常数 L，则记为：\ limx→+∞​f(x)=L
   例如：\ limx→+∞​x1​=0（函数值趋近于0）

2. 负无穷处的极限
   当自变量 x 无限减小（即 x→−∞）时，若函数 f(x) 趋近于某个常数 M，则记为：\ limx→−∞​f(x)=M
   例如：\ limx→−∞​arctanx=−2π​

二、几何意义与函数行为

1. 水平渐近线
   若 limx→±∞​f(x)=L，则直线 y=L 是函数 f(x) 的水平渐近线。

   • 示例：\ f(x)=x2x+1​在 x→±∞ 时，极限为 2 ，故 y=2 是水平渐近线。

2. 趋向无穷大
   若函数值的绝对值无限增大，则极限不存在（DNE），记为：\ limx→+∞​f(x)=+∞或limx→−∞​f(x)=−∞

   • 示例：\ limx→+∞​ex=+∞，limx→−∞​x3=−∞

3. 震荡无界
   若函数在自变量趋向无穷时无限震荡且振幅不衰减，则极限不存在。

   • 示例：\ limx→+∞​xsinx DNE（振幅随 x 增大而增大）

三、存在性条件

1. 有限极限存在的充要条件
   当且仅当函数在自变量趋向无穷时，其值稳定趋向于某个有限常数 L。

   • 示例：\ limx→+∞​xsinx​=0（振幅随 x 增大而衰减至0）

2. 与单侧极限的关系
   无穷处的极限本质上是单侧的，因为 +∞ 和 −∞ 分别代表不同的趋向方向。例如：\ limx→+∞​x1​=0与limx→−∞​x1​=0结果相同，但过程不同。

四、典型函数的极限行为

函数类型	x→+∞ 时的极限	x→−∞ 时的极限
多项式 xn	+∞（n 为偶数）	+∞（n 为偶数）
	+∞（n 为奇数）	−∞（n 为奇数）
指数函数 ex	+∞	0
指数函数 2−x	0	+∞
分式函数 x1​	0	0
反正切函数 arctanx	2π​	−2π​

五、应用场景

1. 分析函数的渐近行为：确定函数在无穷远处的趋势，如水平渐近线。
2. 比较函数增长速度：例如，指数函数增长快于多项式函数。
3. 解决物理问题：如研究物体在无限时间或空间中的运动趋势。

六、注意事项

• 无穷大不是实数：+∞ 和 −∞ 仅表示一种趋向过程，而非具体数值。
• 单侧性：x→+∞ 和 x→−∞ 的极限需分别讨论，可能结果不同。
• 极限不存在的情形：若函数趋向无穷大或震荡无界，则极限 DNE。

示例：
函数 f(x)=xx2+1​ 在 x→+∞ 时趋向 +∞，在 x→−∞ 时趋向 −∞，因此极限不存在。