数学复习（7）极限求解基本方法

最新推荐文章于 2025-04-10 22:39:06 发布

wgc2k

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分类专栏： # 微积分文章标签：数学建模笔记

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x → a时的有理函数的极限

因式分解消除不利因素

代入：

对于 $\lim\limits_{x \to a}\frac{p(x)}{q(x)}$ （p、q为多项式，a为有限数）形式的极限，首先尝试将x=a代入。

若分母不为0，极限值就是代入后所得的值。
若代入后分母为0，得到00这种不定式，则需借助因式分解等技巧求解。例如对 $\lim\limits_{x \to 2}\frac{x^{2}-3x + 2}{x - 2}$ ，因式分解 $x^{2}-3x + 2=(x - 2)(x - 1)$ ，删除公因子后将x=2代入(x−1)得极限值为1 。
函数 $f(x)=\frac{x^{2}-3x + 2}{x - 2}$ 消元后 g(x)=x−1，f、g不是同一函数，但加极限符号后相关等式成立。（只是等式成立，并不说明两个函数是一个函数）

求解极限时因式分解的重要性：

- 包括二次多项式的分解。

- 立方差公式 $a^{3}-b^{3}=(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})$ 。

求解 $\lim\limits_{x \to 3}\frac{x^{3}-27}{x^{4}-5x^{3}+6x^{2}}$ ，对分子分母因式分解后删除公因子 $(x - 3)$ 再代入求解。

当分母为0但分子不为0时：

- 有理函数图像会有垂直渐近线，有四类行为。通过查看f(x)在x = a两边的符号可分辨具体情形。

- 如求解 $\lim\limits_{x \to 1}\frac{2x^{2}-x - 6}{x(x - 1)^{3}}$ ，代入x = 1得-5/0，分析分子分母符号可知双侧极限不存在，单侧极限分别为 $\lim\limits_{x \to 1^{+}}\frac{2x^{2}-x - 6}{x(x - 1)^{3}}=-\infty$ ， $\lim\limits_{x \to 1^{-}}\frac{2x^{2}-x - 6}{x(x - 1)^{3}}=\infty$ 。

改变极限为 $\lim\limits_{x \to 1}\frac{2x^{2}-x - 6}{x(x - 1)^{2}}$ 时：

- 分析分子分母符号，由于 $(x - 1)^{2}$ 恒正，可知左右极限和双侧极限都为 $-\infty$ 。

x → a时的平方根的极限

共轭消除不利因素

解 $\lim\limits_{x \to 5}\frac{\sqrt{x^{2}-9}-4}{x - 5}$ 。

当x = 5时，此极限为0/0型不定式，常规因式分解无法求解。

此时需用分子 $\sqrt{x^{2}-9}-4$ 的共轭表达式 $\sqrt{x^{2}-9}+4$ 与之相乘并相除，利用 $(a - b)(a + b) = a^{2} - b^{2}$ 公式，将分子简化为 $x^{2}-25$ 。

将原式化为 $\lim\limits_{x \to 5}\frac{x^{2}-25}{(x - 5)(\sqrt{x^{2}-9}+4)}$ ，

再对 $x^{2}-25$ 因式分解为 $(x - 5)(x + 5)$

删除公因子，得到 $\lim\limits_{x \to 5}\frac{x + 5}{\sqrt{x^{2}-9}+4}$ ，

代入 $x = 5$ 可得出极限值为5/4。

注：

x->a的情况下大多数是消除不利因素然后带入值求解。

x → ∞时的有理函数的极限

求 $x \to \infty$ 时有理函数 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{p(x)}{q(x)}$ （p和q是多项式）的极限。

多项式的性质

当x很大时，多项式的首项起决定性作用。

例题：

$p(x) = 3x^3 - 1000x^2 + 5x - 7$

解：

设其首项 $p_L(x) = 3x^3$ ，当x越来越大时，p(x)的表现就好像只有首项存在一样， $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{p(x)}{p_L(x)} = 1$ ，因为x越大，最高次数项比其他项增长得更快。

对 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{3x^3 - 1000x^2 + 5x - 7}{3x^3}$ ，将其拆分为 $\lim\limits_{x \to \infty}(1 - \frac{1000}{3x} + \frac{5}{3x^2} - \frac{7}{3x^3})$ 。

根据“和的极限等于极限的和”，分别分析各项极限。

由于 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{C}{x^n}=0$ (n > 0，C是常数），所以 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{3x^3 - 1000x^2 + 5x - 7}{3x^3}=1$ 。

应用

对于 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{- 8x^4 + 3x^3 + 1}{7x^4 + 5x^2 - 2}$ ，分别用分子分母的首项代替分子分母，化简为首项比 $-\frac{8}{7}$ 。

再通过对式子变形并利用 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{C}{x^n}=0$ （n > 0，C是常数），证明其他分式极限为1，得出极限值为 $-\frac{8}{7}$ 。

-对于 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{(x^4 - 5x^3 + 1)(-x^5 + 1)}{(18x^7 + 9x^6 - 2)(x)}$ ，分别用四个多项式的首项进行替换化简，得到 $-\frac{x}{18}$ ，

当 $x \to \infty$ 时，极限为 $-\infty$ 。

总结

设 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{p(x)}{q(x)}$ ，若p的次数等于q的次数，则极限是有限的且非零；若p的次数大于q的次数，则极限是 $\infty$ 或 $-\infty$ ；若p的次数小于q的次数，则极限是0。（ $x \to -\infty$ 时也成立），可利用上述方法证明这些结论，且求解问题时可先运用除法和乘法，再用这些结论检验答案的合理性。

x → ∞时的多项式型函数的极限

方法

对于多项式型函数，虽不是多项式，但极限求解方法与多项式类似，首项不清晰，平方根等的出现影响较大。

例子

分母为含首项2x2的多项式，分子中平方根符号下多项式16x4+8的首项为16x4，取平方根得4x2，将分子替换为4x2+3x，把4x2拖到平方根符号下化简，当x→∞时，分母中含x部分消失，得出极限结果。

将第一个例子中分子的3x变为3x3，因更高次数项3x3起主导作用，用3x3替换分子，将3x3拖到平方根符号下化简，得出极限结果。

求x→∞lim（分子为4x6−5x5，分母情况不太复杂）的极限，先对分子用共轭表达式乘以并除以分子分母，再对分母乘以并除以首项的立方根27x6化简，对分子中平方根符号下部分分析，用4x3替换分子并拆分分式、拖项化简，当x→∞时得出部分极限，最后通过一系列操作，从分子分母中删除x5。

步骤

求解 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}-2x^{3}}{\sqrt[3]{27x^{6}-8x}}$ 。

1.简化分子，对分子使用共轭乘法

分子 $\sqrt{4x^{6}-5x^{5}} - 2x^{3}$ 乘以它的共轭 $\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}+2x^{3}$

同时分母也乘以 $\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}+2x^{3}$ ，则原式变为

$\lim\limits_{x \to \infty}\frac{(\sqrt{4x^{6}-5x^{5}} - 2x^{3})(\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}+2x^{3})}{(\sqrt[3]{27x^{6}-8x})(\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}+2x^{3})}$ 。

根据平方差公式 $(a - b)(a + b)=a^{2}-b^{2}$ ，分子 $(\sqrt{4x^{6}-5x^{5}} - 2x^{3})(\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}+2x^{3})=(4x^{6}-5x^{5})-(2x^{3})^{2}=4x^{6}-5x^{5}-4x^{6}=-5x^{5}$ 。

此时式子为 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{-5x^{5}}{(\sqrt[3]{27x^{6}-8x})(\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}+2x^{3})}$ 。

2. 简化分母

对分母中的 $\sqrt[3]{27x^{6}-8x}$ 进行处理： - 分子分母同时除以 $\sqrt[3]{27x^{6}}$ （即 $3x^{2}$ ），

则 $\sqrt[3]{27x^{6}-8x}=\sqrt[3]{27x^{6}(1 - \frac{8}{27x^{5}})} = 3x^{2}\sqrt[3]{1-\frac{8}{27x^{5}}}$ 。

原极限变为 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{-5x^{5}}{3x^{2}\sqrt[3]{1 - \frac{8}{27x^{5}}}(\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}+2x^{3})}$ 。

接着，对分母中的 $\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}$ 进行处理。

因为当 $x\to\infty$ 时， $\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}$ 的首项是 $\sqrt{4x^{6}} = 2x^{3}$ ，将 $\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}$ 变形为 $\sqrt{x^{6}(4-\frac{5}{x})}=x^{3}\sqrt{4 - \frac{5}{x}}$ 。

原极限 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{-5x^{5}}{3x^{2}\sqrt[3]{1 - \frac{8}{27x^{5}}}(x^{3}\sqrt{4 - \frac{5}{x}}+2x^{3})}$ 。

提取分母中 $x^{3}$ 的公因式，得到 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{-5x^{5}}{3x^{2}\cdot x^{3}\sqrt[3]{1 - \frac{8}{27x^{5}}}(\sqrt{4 - \frac{5}{x}}+2)}$ 。

即 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{-5x^{5}}{3x^{5}\sqrt[3]{1 - \frac{8}{27x^{5}}}(\sqrt{4 - \frac{5}{x}}+2)}$ 。

最后，求极限：当 $x\to\infty$ 时， $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{1}{x^{n}} = 0$

所以 $\lim\limits_{x \to \infty}\sqrt[3]{1 - \frac{8}{27x^{5}}}=1$ ， $\lim\limits_{x \to \infty}\sqrt{4 - \frac{5}{x}} = 2$ 。

- 则 $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{-5x^{5}}{3x^{5}\sqrt[3]{1 - \frac{8}{27x^{5}}}(\sqrt{4 - \frac{5}{x}}+2)}=\frac{-5}{3\times1\times(2 + 2)}\)\(=-\frac{5}{12}$ 。

综上， $\lim\limits_{x \to \infty}\frac{\sqrt{4x^{6}-5x^{5}}-2x^{3}}{\sqrt[3]{27x^{6}-8x}}=-\frac{5}{12}$

x → -∞时的多项式型函数的极限

原理

$x \to -\infty$ 时，有理函数中多项式的最高次数项仍占主导地位，且当C为常数，n为正整数时， $C/x^n$ 仍趋于0，部分问题的解与 $x \to \infty$ 时相同。

例子分析略

$x \to -\infty$ 与 $x \to \infty$ 时求解过程的异同，在取极限时二者会有不同结果。

平方根化简注意事项

当x为负时， $\sqrt{x^{2}} = -x$ ，在 $x \to -\infty$ 处理多项式型函数时会出现类似情况，如 $\sqrt{4x^{6}+8}$ ， $x \to -\infty$ 时应化简为 $- 2x^{3}$ 而非 $2x^{3}$ 。

根式相关结论

对于根式，当x为负时，若n为偶数，对 $\sqrt[n]{x^{m}}$ 化简可能需在 $x^{m}$ 前加负号（当m为奇数时）；若n为奇数， $\sqrt[n]{x^{n}} = x$ 对所有x（正、负、零）都成立；对于 $\sqrt{x^{2}}$ ，因为 $x^{2}$ 非负， $\sqrt{x^{2}}$ 也非负，所以 $\sqrt{x^{2}} = |x|$ ，当x<0时 $\sqrt{x^{2}} = -x$ 。总结为：若x<0，写 $\sqrt[n]{x^{m}}$ 时，仅当n为偶且m为奇时，需在 $x^{m}$ 前加负号。

包含绝对值的函数极限

绝对值函数的定义与性质

绝对值函数是指含有绝对值符号的函数，例如 $y = |x - 3|$ 。绝对值的性质是：当 $x - 3 \geq 0$ ，即 $x \geq 3$ 时， $y = x - 3$ ；当 $x - 3 < 0$ ，即x < 3时， $y = -(x - 3)=3 - x$ 。

求解绝对值函数极限的方法

求解绝对值函数的极限，关键在于根据绝对值内式子的正负性，去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分别考虑函数在不同区间上的极限情况。

例子一

求 $\lim\limits_{x \to 2}\frac{|x - 1|}{x - 1}$ 。

当 $x - 1 \geq 0$ ，即 $x \geq 1$ 时， $|x - 1| = x - 1$ ，此时 $\frac{|x - 1|}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}=1$ 。

当 $x - 1 < 0$ ，即x < 1时， $|x - 1| = -(x - 1)=1 - x$ ，此时 $\frac{|x - 1|}{x - 1}=\frac{1 - x}{x - 1}=-1$ 。

因为 $x \to 2$ ， $2 > 1$ (实际上取得是x>1,即右边得函数图像)，所以在x趋近于2的过程中， $\frac{|x - 1|}{x - 1}=1$ ，则 $\lim\limits_{x \to 2}\frac{|x - 1|}{x - 1}=1$ 。

例子二

再如求 $\lim\limits_{x \to -1}\frac{|x^2 - 1|}{x + 1}$ 。

先对绝对值内的式子进行因式分解， $x^2 - 1=(x + 1)(x - 1)$ 。

-当 $(x + 1)(x - 1) \geq 0$ 时，

分两种情况： $x \geq 1$ 或 $x \leq -1$ 。

当 $x \leq -1$ 时， $|x^2 - 1| = x^2 - 1$ ，则 $\frac{|x^2 - 1|}{x + 1}=\frac{(x + 1)(x - 1)}{x + 1}=x - 1$ 。

-当 $(x + 1)(x - 1) < 0$ 时，

即 $-1 < x < 1$ 时， $|x^2 - 1| = -(x^2 - 1)=1 - x^2$ ，则 $\frac{|x^2 - 1|}{x + 1}=\frac{1 - x^2}{x + 1}=\frac{(1 + x)(1 - x)}{x + 1}=1 - x$ 。

- 当 $x \to -1^{-}$ 时，此时x满足 $x \leq -1$ （第一种情况的第一种条件），此时 $\frac{\vert x^2 - 1\vert}{x + 1}=x - 1$ ，那么 $\lim\limits_{x \to -1^{-}}\frac{\vert x^2 - 1\vert}{x + 1}=\lim\limits_{x \to -1^{-}}(x - 1)\)\(=-2$ 。

- 当 $x \to -1^{+}$ 时，即x从大于-1的方向趋近于-1，此时x满足-1 < x < 1（第二种情况）。

根据前面的讨论，此时 $\frac{\vert x^2 - 1\vert}{x + 1}=1 - x$ ，那么 $\lim\limits_{x \to -1^{+}}\frac{\vert x^2 - 1\vert}{x + 1}=\lim\limits_{x \to -1^{+}}(1 - x)\)\(= 2$ 。

由于左极限 $\lim\limits_{x \to -1^{-}}\frac{\vert x^2 - 1\vert}{x + 1} = -2$ ，右极限 $\lim\limits_{x \to -1^{+}}\frac{\vert x^2 - 1\vert}{x + 1} = 2$ ，左右极限不相等，所以 $\lim\limits_{x \to -1}\frac{\vert x^2 - 1\vert}{x + 1}$ 不存在。