数学复习（4）三角学

三角学基本概念

弧度和角度的转换

1. 基本定义

   • 弧度：基于单位圆周长（2π）的角的度量单位。
   • 角度：传统的角的度量单位（360° 为一周）。
   • 核心关系：π 弧度 = 180°，即 1 弧度 ≈ 57.3°，1° ≈ 0.01745 弧度。

2. 转换公式

   • 角度转弧度：弧度 = 角度 × (π/180)
     示例：60° = 60 × (π/180) = π/3 弧度。
   • 弧度转角度：角度 = 弧度 × (180/π)
     示例：3π/4 弧度 = (3π/4) × (180/π) = 135°。

3. 常见角度对应表

   角度（°）	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
   弧度	0	π/6	π/4	π/3	π/2	π	3π/2	2π

4. • 总结：弧度与角度通过 π=180° 关联，掌握转换公式和常见角度对应关系是理解三角函数和微积分的基础。

   • 关键记忆点

     • 0°, 90°, 180°, 270°, 360° 分别对应 0, π/2, π, 3π/2, 2π 弧度。
     • 转换时注意单位符号（° 或无符号为弧度），避免混淆。
     • 利用 “π=180°” 简化计算，例如：
       • 120° = 2π/3 弧度（120 ÷ 60 = 2，180° ÷ 3 = 60°）。
       • 5π/6 弧度 = 150°（5 × 30° = 150°）。

三角函数定义

1. 基本定义（直角三角形视角）
   在直角三角形中，对锐角 θ：

   • 正弦（sinθ） = 对边 / 斜边
   • 余弦（cosθ） = 邻边 / 斜边
   • 正切（tanθ） = 对边 / 邻边
   • 余割（cscθ） = 1/sinθ
   • 正割（secθ） = 1/cosθ
   • 余切（cotθ） = 1/tanθ

2. 单位圆定义（扩展至任意角）
   在单位圆（半径为 1 的圆）上，角 θ 的终边与单位圆交于点(x,y)，则：

   • sinθ=y，cosθ=x，tanθ=y/x（x=0）
   • 其他函数：cscθ=1/y，secθ=1/x，cotθ=x/y

3. 定义域与值域

   函数	定义域	值域
   sinθ	所有实数	[−1,1]
   cosθ	所有实数	[−1,1]
   tanθ	θ=π/2+kπ（k 为整数）	所有实数
   cscθ	θ=kπ	(−∞,−1]∪[1,+∞)
   secθ	θ=π/2+kπ	(−∞,−1]∪[1,+∞)
   cotθ	θ=kπ	所有实数

4. 符号规则（象限分析）

   • 第一象限（0 < θ < π/2）：sinθ、cosθ、tanθ 均为正。
   • 第二象限（π/2 < θ < π）：sinθ 正，其余负。
   • 第三象限（π < θ < 3π/2）：tanθ 正，其余负。
   • 第四象限（3π/2 < θ < 2π）：cosθ 正，其余负。

5. 特殊角度的值
   需熟记以下角度的三角函数值（单位：弧度）：

   θ	0	π/6	π/4	π/3	π/2
   sinθ	0	1/2	√2/2	√3/2	1
   cosθ	1	√3/2	√2/2	1/2	0
   tanθ	0	√3/3	1	√3	无定义

核心应用：三角函数广泛用于几何、物理、工程等领域，描述周期性现象（如声波、交流电）和角度与边长的关系。在微积分中，它们是求导、积分和级数展开的基础。

常用三角函数数值

核心角度与对应值

角度（弧度）	0	π/6	π/4	π/3	π/2
sinθ	0	1/2	√2/2	√3/2	1
cosθ	1	√3/2	√2/2	1/2	0
tanθ	0	√3/3	1	√3	无定义

其他常见角度扩展

角度（弧度）	π	3π/2	2π
sinθ	0	-1	0
cosθ	-1	0	1
tanθ	0	无定义	0

记忆技巧

1. 30°-60°-90° 三角形（对应 π/6、π/3、π/2）：

   • 边长比为 1 : √3 : 2，对应：
     • sin(π/6) = 1/2，sin(π/3) = √3/2
     • cos(π/6) = √3/2，cos(π/3) = 1/2

2. 45°-45°-90° 三角形（对应 π/4）：

   • 边长比为 1 : 1 : √2，对应：
     • sin(π/4) = cos(π/4) = √2/2
     • tan(π/4) = 1

3. 单位圆对称性：

   • 角度 π - θ、π + θ、2π - θ 的三角函数值可通过对称性推导（结合符号规则）。

应用场景

• 微积分：快速计算导数、积分、级数展开。
• 几何与物理：求解三角形边长、周期性现象（如波动、振动）。
• 工程与计算机：图形学、信号处理、角度转换。

三角函数的定义域简介

单位圆与象限分析

单位圆的定义

• 定义：以原点为中心，半径为 1 的圆，方程为 x2+y2=1。
• 作用：任意角 θ 的终边与单位圆的交点坐标为 (x,y)，直接对应三角函数值：
  cosθ=x,sinθ=y,tanθ=xy​.

二、象限划分与角度范围

• 四个象限（逆时针标记）：
  • 第一象限：0<θ<2π​（0∘<θ<90∘）
  • 第二象限：2π​<θ<π（90∘<θ<180∘）
  • 第三象限：π<θ<23π​（180∘<θ<270∘）
  • 第四象限：23π​<θ<2π（270∘<θ<360∘）
• 周期性：角度每增加 2π，终边位置重复。

三、参考角的计算

• 定义：角度 θ 的终边与 x 轴 之间的最小正角，范围为 0≤参考角<2π​。
• 计算方法：
  • 第一象限：参考角 = θ
  • 第二象限：参考角 = π−θ
  • 第三象限：参考角 = θ−π
  • 第四象限：参考角 = 2π−θ

四、三角函数的符号规律

根据角度所在象限，三角函数的符号如下：

象限	正弦（sinθ）	余弦（cosθ）	正切（tanθ）
一	+	+	+
二	+	-	-
三	-	-	+
四	-	+	-

记忆口诀：
（第一象限全正，第二象限正弦正，第三象限正切正，第四象限余弦正）

五、求解任意角度的三角函数值

步骤总结：

1. 确定角度范围：判断 θ 所在的象限。
2. 计算参考角：根据象限公式求出参考角 α。
3. 确定符号：根据象限判断三角函数的正负。
4. 查表求值：利用参考角 α 的三角函数值，结合符号得到结果。

通过以上要点，可系统分析任意角度的三角函数值，结合单位圆和象限规律，快速求解复杂问题。

三角函数的图像

 正弦函数（y = sin (x)）

• 图像特征：波浪形曲线，周期为 2π，振幅为 1。
• 关键点（0 ≤ x ≤ 2π）：
  • sin(0)=0，sin(π/2)=1，sin(π)=0，sin(3π/2)=−1，sin(2π)=0。
• 对称性：关于原点对称（奇函数），即 sin(−x)=−sin(x)。
• 周期性：每隔 2π 重复一次。

2. 余弦函数（y = cos (x)）

• 图像特征：波浪形曲线，周期为 2π，振幅为 1，相位比正弦函数左移 π/2。
• 关键点（0 ≤ x ≤ 2π）：
  • cos(0)=1，cos(π/2)=0，cos(π)=−1，cos(3π/2)=0，cos(2π)=1。
• 对称性：关于 y 轴对称（偶函数），即 cos(−x)=cos(x)。
• 周期性：每隔 2π 重复一次。

3. 正切函数（y = tan (x)）

• 图像特征：周期性曲线，周期为 π，在 x=π/2+kπ（k 为整数）处有垂直渐近线。
• 关键点（-π/2 < x < π/2）：
  • tan(0)=0，tan(π/4)=1，tan(−π/4)=−1。
• 对称性：关于原点对称（奇函数），即 tan(−x)=−tan(x)。
• 定义域：x=π/2+kπ。

4. 其他三角函数图像

• 余割函数（y = csc (x)）：csc(x)=1/sin(x)，图像与正弦函数的倒数对应，在 x=kπ 处有垂直渐近线。
• 正割函数（y = sec (x)）：sec(x)=1/cos(x)，图像与余弦函数的倒数对应，在 x=π/2+kπ 处有垂直渐近线。
• 余切函数（y = cot (x)）：cot(x)=1/tan(x)，图像与正切函数的倒数对应，周期为 π，在 x=kπ 处有垂直渐近线。

5. 奇偶性与对称性

函数	奇偶性	对称性描述
sin(x)	奇函数	关于原点对称
cos(x)	偶函数	关于 y 轴对称
tan(x)	奇函数	关于原点对称
csc(x)	奇函数	关于原点对称
sec(x)	偶函数	关于 y 轴对称
cot(x)	奇函数	关于原点对称

6. 应用技巧

• 周期性：利用 sin(x+2π)=sin(x)、cos(x+2π)=cos(x)、tan(x+π)=tan(x) 简化计算。
• 渐近线：正切、余切、正割、余割函数的渐近线位置需牢记，避免定义域错误。
• 对称性：奇函数满足 f(−x)=−f(x)，偶函数满足 f(−x)=f(x)，可快速判断符号。

总结：掌握三角函数图像的形状、周期、对称性和关键点，能快速求解函数值并分析其性质，是微积分和信号处理的重要基础。

重要的公式

基本定义式

1. 正切函数\ tan(x)=cos(x)sin(x)​
2. 余切函数\ cot(x)=sin(x)cos(x)​

二、毕达哥拉斯恒等式

1. 基础公式\ cos2(x)+sin2(x)=1
2. 除以 cos2(x)\ 1+tan2(x)=sec2(x)
3. 除以 sin2(x)\ cot2(x)+1=csc2(x)

三、互余恒等式

若两角之和为 2π​，则：
sin(2π​−x)cos(2π​−x)tan(2π​−x)cot(2π​−x)sec(2π​−x)csc(2π​−x)​=cos(x),=sin(x),=cot(x),=tan(x),=csc(x),=sec(x).​

四、和角公式

1. 正弦和角\ sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)
2. 余弦和角\ cos(A+B)=cos(A)cos(B)−sin(A)sin(B)
3. 正弦差角\ sin(A−B)=sin(A)cos(B)−cos(A)sin(B)
4. 余弦差角\ cos(A−B)=cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)

五、倍角公式

1. 正弦倍角\ sin(2x)=2sin(x)cos(x)
2. 余弦倍角\ cos(2x)=cos2(x)−sin2(x)=2cos2(x)−1=1−2sin2(x)
3. 正切倍角\ tan(2x)=1−tan2(x)2tan(x)​

六、高倍角推导示例

• 四倍角公式（推导方法）：\ sin(4x)=2sin(2x)cos(2x)=8sin(x)cos3(x)−4sin(x)cos(x),
  cos(4x)=2cos2(2x)−1=8cos4(x)−8cos2(x)+1.

提示：

• 倍角公式可通过和角公式推导（如 A=B=x）。
• 高倍角问题需逐步分解（如 4x=2⋅2x）。
• 优先记忆基础公式，复杂恒等式可通过基础公式推导。