数学复习(9)可导性

wgc2k

已于 2025-03-20 13:19:15 修改

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分类专栏： # 微积分文章标签：数学建模笔记

于 2025-03-20 13:02:00 首次发布

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简介

高中物理学的牛顿定律求的是平均速度。为了更方便的理解运动物体的瞬间速度、距离和时间的关系，启蒙了微积分思想。可以说微积分是研究物理的过程中设计出来的数学工具。

用极限思想求速度公式

定义时刻与相关变量

设 $t$ 是我们关心的时刻， $u$ 是 $t$ 之后的一段很短的时间，用 $v_{[t, u]}$ 表示汽车在始于时间 $t$ 、终止于时间 $u$ 的时间段上的平均速度。

引入极限概念

为了得到时刻 $t$ 的瞬时速度，让 $u$ 越来越靠近 $t$ ，最初可定义在时刻 $t$ 上的瞬时速度为右极限形式 $\lim\limits_{u \to t^{+}}v_{[t, u]}$ 。如果允许 $u$ 在 $t$ 之前，用双侧极限替换右极限，即 $\lim\limits_{u \to t}v_{[t, u]}$ 。

结合位置函数求平均速度

假设在时刻 $t$ ，汽车的位置是 $f(t)$ ，那么平均速度 $v_{[t, u]}=\frac{f(u) - f(t)}{u - t}$ （其中分母 $u - t$ 是所用时间的长度，当 $u$ 在 $t$ 之后）。

求瞬时速度极限公式

取 $u \to t$ 时的极限，得到在时刻 $t$ 的瞬时速度 $v=\lim\limits_{u \to t}\frac{f(u) - f(t)}{u - t}$ 。由于当 $u = t$ 时会得到 $\frac{0}{0}$ 的不定式，所以需要使用极限运算来求解。

变形极限公式

定义 $h = u - t$ ，因为 $u$ 非常靠近 $t$ ，所以两时刻的差值 $h$ 无限接近于0，当 $u \to t$ 时， $h \to 0$ ，且 $u = t + h$ 。此时在时刻$t$的瞬时速度变为\ $v=\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(t + h) - f(t)}{h}$ 。

例子

已知汽车在时刻t的位置函数 $f(t)=10t^2+5$ ，求汽车在任意时刻 t 的速度。

解

瞬时速度的公式 $\lim\limits_{h \to 0}\frac{f(t + h) - f(t)}{h}$

首先将 $f(t + h)$ 和 $f(t)$ 代入公式

$\lim\limits_{h \to 0}\frac{10(t + h)^{2} + 5 - (10t^{2} + 5)}{h}$

展开 $(t + h)^{2}$

根据完全平方公式 $(t + h)^{2} = t^{2} + 2th + h^{2}$ 。所以原式变为 $\lim\limits_{h \to 0}\frac{10(t^{2} + 2th + h^{2}) + 5 - 10t^{2} - 5}{h}$

化简

$\lim\limits_{h \to 0}\frac{10t^{2} + 20th + 10h^{2} + 5 - 10t^{2} - 5}{h}$

$\lim\limits_{h \to 0}\frac{20th + 10h^{2}}{h}$

$\lim\limits_{h \to 0}(20t + 10h)$

将h = 0代入并得到：在时刻 $t$ 的瞬时速度 $= 20t$

因此，在时刻0，汽车的速度是20 * 0 = 0英里/小时——汽车在休息。半小时之后，在时刻 $t = \frac{1}{2}$ ，它的速度是 $20*\frac{1}{2} = 10$ 英里/小时。一小时之后，速度是 $20$ 英里/小时。

在时刻 $t$ 的速度是 $20t$ ，这告诉我们，汽车行驶得越来越快，每小时速度增加 $20$ 英里/小时。也就是说，汽车以 $20$ 英里每二次方小时加速。

从函数图像来理解导数

导数的定义

设函数 $y = f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 在 $x_0$ 处取得增量 $\Delta x$ $(\Delta x \neq 0 )$ 时，函数 $y$ 相应取得增量 $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ 。

若极限 $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ 存在，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，并称该极限值为 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$ 、 $y'|_{x=x_0}$ 、 $\frac{dy}{dx}|_{x=x_0}$ 或 $\frac{df}{dx}|_{x=x_0}$ 。

几何意义

导数 $f'(x_0)$ 表示函数 $f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率。

物理意义

若 $f(x)$ 表示物体的位移随时间 $x$ 的变化规律，则 $f'(x_0)$ 表示物体在 $x_0$ 时刻的瞬时速度。

注意事项

1. 导数的本质是函数在某一点的“瞬时变化率”。

2. 函数在某点可导的必要条件是该点连续，但连续不一定可导（例如 $f(x) = |x|$ 在 $x=0$ 处连续但不可导）。

3. 导数的定义式可以写成不同形式，例如： $f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

示例若 $f(x) = x^2$ ，则其导数为： $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x) = 2x.$

二阶导数

二阶导数是在一阶导数的基础上进一步对函数进行求导得到的概念。

个人一直用直观但不精准的方法记忆：导数记录了图像的在某一点上的斜率数值，二阶导数是关于这个斜率的函数。三阶导是关于这个斜率函数的斜率的函数。更高阶的如此循环嵌套，本质上高阶导就是二阶导。

定义

对于一个给定的函数 $y = f(x)$ ，先对其求一阶导数 $f^\prime(x)$ ，然后再对 $f^\prime(x)$ 求导，所得到的结果就是函数 $f(x)$ 的二阶导数，记作 $f^{\prime\prime}(x)$ 。例如，对于函数 $f(x)=x^3$ ，其一阶导数 $f^\prime(x)=3x^2$ ，再对 $f^\prime(x)$ 求导，可得二阶导数 $f^{\prime\prime}(x)=6x$ 。

表示方法

如果 $y = f(x)$ ，除了用 $f^{\prime\prime}(x)$ 表示二阶导数外，还常用 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ 来表示。这种表示方法更能体现出二阶导数是对 $y$ 关于 $x$ 的两次求导过程。例如，对于 $y = \sin x$ ， $\frac{dy}{dx}=\cos x$ ，那么 $\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = -\sin x$ 。

几何意义

函数的凹凸性

说凹凸性过于学术化。以二次函数为例子，用我自己的话就是函数图像是正向的还是反向的。

二阶导数的正负可以判断函数图像的凹凸性。若 $f^{\prime\prime}(x)>0$ ，则函数 $f(x)$ 的图像在相应区间是下凸的（也称为凹向上）；若 $f^{\prime\prime}(x)<0$ ，函数 $f(x)$ 的图像在相应区间是上凸的（也称为凹向下）。例如，对于函数 $f(x)=x^2$ ， $f^{\prime\prime}(x)=2>0$ ，其图像是下凸的抛物线。

拐点

二阶导数为零的点或者二阶导数不存在的点可能是函数的拐点。拐点是函数凹凸性发生改变的点。例如，对于函数 $f(x)=x^3$ ， $f^{\prime\prime}(x)=6x$ ，当 $x = 0$ 时， $f^{\prime\prime}(0)=0$ ， $x = 0$ 就是该函数的一个拐点，在 $x<0$ 时函数图像上凸，在 $x>0$ 时函数图像下凸。

物理意义

在物理学中，二阶导数有着重要的应用。例如，在直线运动中，如果位移 $s$ 是时间 $t$ 的函数 $s = s(t)$ ，那么一阶导数 $s^\prime(t)$ 表示速度 $v(t)$ ，二阶导数 $s^{\prime\prime}(t)$ 表示加速度 $a(t)$ 。加速度反映了速度变化的快慢。比如，一辆汽车做匀加速直线运动，其位移函数 $s(t)=v_0t+\frac{1}{2}at^2$ （其中 $v_0$ 是初速度， $a$ 是加速度），速度 $v(t)=s^\prime(t)=v_0 + at$ ，加速度 $a(t)=s^{\prime\prime}(t)=a$ ，这里加速度是一个常数，说明速度是均匀变化的。

应用

求函数的极值

结合一阶导数和二阶导数可以判断函数的极值情况。当一阶导数 $f^\prime(x_0)=0$ 时，若二阶导数 $f^{\prime\prime}(x_0)>0$ ，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值；若 $f^{\prime\prime}(x_0)<0$ ，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值。例如，对于函数 $f(x)=x^4 - 4x^3$ ，先求一阶导数 $f^\prime(x)=4x^3 - 12x^2$ ，令 $f^\prime(x)=0$ ，解得\ $x = 0$ 或 $x = 3$ 。再求二阶导数 $f^{\prime\prime}(x)=12x^2 - 24x$ ， $f^{\prime\prime}(0)=0$ ，无法直接判断 $x = 0$ 处的极值情况； $f^{\prime\prime}(3)=36>0$ ，所以函数在 $x = 3$ 处取得极小值。

优化问题

在实际问题中，经常会遇到需要优化某个量的情况，例如求最高点、最低点等。通过建立函数模型，利用二阶导数可以帮助确定函数的最值点。通过求一阶导数找到可能的极值点，再利用二阶导数判断这些点是极大值点还是极小值点。

连续和可导的关系

关系定义

可导函数必连续，即如果函数 $f$ 在 $x$ 上可导，那么它在 $x$ 上连续。例如 $\sin(x)$ 可导，所以它在 $x$ 处连续，其他三角函数、指数函数和对数函数（除垂直渐近线处）也有类似结论。

证明思路

要证明 $f$ 在 $x$ 上连续，需证明 $\lim_{u \to x}f(u)=f(x)$ ，用 $h = u - x$ 替换，即证明 $\lim_{h \to 0}f(x + h)=f(x)$ 。

证明过程

因为 $f$ 在 $x$ 上可导，所以 $f^{\prime}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}$ 存在，由此可知 $f(x)$ 存在。

考虑极限 $\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}\times h$ ，将其分成两个因子求极限， $\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}\times h=\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h)-f(x)}{h}\times\lim_{h \to 0}h = f^{\prime}(x)\times0 = 0$ 。