数学复习（3）各种不同的函数类型

一、线性函数

线性函数是数学中的一种基本函数类型，形如 y=kx+b，其中 k 和 b 是常数，且 k!=0。线性函数的图像是一条直线，其基本性质包括：

• 单调性 ：当 k>0 时，函数单调递增；当 k<0 时，函数单调递减。

• 奇偶性 ：只有当 b=0 时，线性函数为奇函数。

• 平行性 ：若两个线性函数的 k 值相等，则它们的图像平行。

线性函数在实际生活中应用广泛，如匀速运动中路程与时间的关系、成本与产量的线性关联等。

二、二次函数

二次函数的一般形式为 y=ax2+bx+c，其中 a，b，c 是常数，且 a=0。其图像是抛物线，基本性质如下：

• 顶点 ：抛物线的顶点坐标为 (−2ab​,4a4ac−b2​)，是抛物线的最高点或最低点。

• 对称轴 ：直线 x=−2ab​，抛物线关于这条直线对称。

• 单调性 ：当 a>0 时，对称轴左侧单调递减，右侧单调递增；当 a<0 时，对称轴左侧单调递增，右侧单调递减。

• 极值 ：当 a>0 时，顶点处是函数的最小值；当 a<0 时，顶点处是函数的最大值。

二次函数在物理学、工程学等领域有重要应用，如抛物运动的轨迹、面积最优化问题等。

三、反比例函数

反比例函数的一般形式为 y=xk​，其中 k 为常数且 k!=0。其图像是双曲线，具有以下性质：

• 对称性 ：关于原点成中心对称，关于直线 y=x 和 y=−x 成轴对称。

• 单调性 ：在每一个象限内，当 k>0 时，函数单调递减；当 k<0 时，函数单调递增。

• 渐近线 ：以 x 轴和 y 轴为渐近线，无限接近但永远不与之相交。

反比例函数在物理学、化学等领域有重要应用，如一定质量的理想气体在等温过程中的压强 P 和体积 V 的关系，溶液中溶质的质量分数与溶液浓度的关系等。

四、指数函数

指数函数的一般形式为 y=ax，其中 a 为常数，且 a>0 且 a!=1。其图像是：

• 当 a>1 时，图像从左向右上升。

• 当 0<a<1 时，图像从左向右下降。

指数函数的性质包括：

• 恒过点 ：图像都经过点 (0,1)。

• 单调性 ：当 a>1 时，函数单调递增；当 0<a<1 时，函数单调递减。

• 值域与范围 ：值域为 (0,+∞)，定义域为 R，以 x 轴为渐近线。

指数函数在人口增长率的计算、放射性物质衰变的模拟、细菌分裂等实际问题中有广泛应用。

五、幂函数

幂函数的一般形式为 y=xα，其中 α 为常数。其图像是：

• 当 α>0 时，图像在第一象限内从原点开始向上延伸。

• 当 α<0 时，图像在第一象限内接近 x 轴和 y 轴。

幂函数的性质包括：

• 奇偶性 ：当 α 为奇数时，函数为奇函数；当 α 为偶数时，函数为偶函数。

• 单调性 ：在第一象限内，当 α>0 时，函数单调递增；当 α<0 时，函数单调递减。

幂函数在描述自然现象、社会现象中的幂律分布等方面有重要应用，如地震震级的分布、城市规模的分布等。

六、有理函数

有理函数是由两个多项式的商形成的函数，形如 f(x)=Q(x)P(x)​，其中 P(x) 和 Q(x) 是多项式，且 Q(x) 不恒为零。有理函数的性质包括：

• 定义域 ：所有 Q(x)=0 的实数。

• 渐近线 ：可能存在水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线。

有理函数在科学和工程中应用广泛，如控制系统的传递函数、物理化学现象的数学表达等。

七、对数函数

对数函数的一般形式为 y=loga​x，其中 a>0 且 a!=1。对数函数与指数函数互为反函数。其图像是：

• 当 a>1 时，图像从左向右逐渐上升。

• 当 0<a<1 时，图像从左向右逐渐下降。

对数函数的性质包括：

• 定义域 ：(0,+∞)。

• 值域 ：(−∞,+∞) 。

• 单调性 ：当 a>1 时，函数单调递增；当 0<a<1 时，函数单调递减。

• 与指数函数的关系

  对数函数与指数函数互为反函数。如果 y=loga​x，则 x=ay，其中 a>0，a!=1。

对数函数在物理学中的分贝计算、化学中的 pH 值计算、计算机科学中的算法时间复杂度分析等方面都有重要应用。

八、三角函数

三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）、余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）。基本定义如下：

• 正弦函数 ：sinθ=斜边对边​

• 余弦函数 ：cosθ=斜边邻边​

• 正切函数 ：tanθ=邻边对边​

• 余切函数 ：cotθ=对边邻边​

• 正割函数 ：secθ=邻边斜边​

• 余割函数 ：cscθ=对边斜边​

三角函数的性质包括：

• 周期性 ：正弦和余弦函数的周期为 2π，正切和余切函数的周期为 π 。

• 奇偶性 ：正弦函数、正切函数、余切函数和余割函数是奇函数，余弦函数和正割函数是偶函数。

• 单调性 ：在特定区间内，三角函数有各自的单调性。

三角函数在几何、物理、工程、计算机图形学等领域都有广泛应用。三角函数应用比较广泛，后继会详细复习。

九、含有绝对值的函数

含有绝对值的函数形如 f(x)=∣g(x)∣，其中 g(x) 是一个实函数。其性质包括：

• 定义域 ：与 g(x) 的定义域相同。

• 值域 ：非负实数区间 [0,+∞)。

• 单调性 ：在顶点左侧和右侧，函数的单调性可能不同。

• 奇偶性 ：绝对值函数是偶函数。

含有绝对值的函数在解析几何、物理学、经济学等领域都有应用。

十、多项式

多项式是由多个单项式相加而成的代数表达式，形如 P(x)=an​xn+an−1​xn−1+⋯+a1​x+a0​。多项式的性质包括：

• 连续性 ：在实数范围内连续。

• 可导性 ：在实数范围内可导。

• 值域 ：取决于其次数和系数。

多项式在代数、微积分、科学和工程、计算机科学等领域都有广泛应用。