数学复习（10）微分的几种基本解题方法

最新推荐文章于 2025-04-10 22:39:06 发布

wgc2k

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分类专栏： # 微积分文章标签：数学建模

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利用定义求解

基本导数定义

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

例题1

负指数函数：已经知道 $f(x) = x^{-2}$ ，求 $f'(x)$

步骤：

1. 已知导数定义：

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{-2} - x^{-2}}{h}$

2. 通分并化简分子：

$\frac{\frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h} = \frac{x^2 - (x+h)^2}{h \cdot x^2(x+h)^2}$

3. 展开分子：

$x^2 - (x^2 + 2xh + h^2) = -2xh - h^2$

4. 分子分母约分 $h$ ：

$\frac{-2x - h}{x^2(x+h)^2}$

5. 极限 $h \to 0$ 时：

$f'(x) = -\frac{2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$

即 $\frac{d}{dx}x^{-2} = -2x^{-3}$

例题2

分数指数函数: 已知道 $f(x) = x^{3/2}$ ，求 $f'(x)$

步骤

1. 代入导数定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{3/2} - x^{3/2}}{h}$

2. 利用因式分解： $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ ，

令 $a = \sqrt{x+h}$ , $b = \sqrt{x}$ ： $(x+h)^{3/2} - x^{3/2} = (\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(x + \sqrt{x(x+h)} + x+h)$

3. 代入并约分 $h$ ： $\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{x + \sqrt{x(x+h)} + x+h}{1}$

4. 取极限

分析第一个分式

$\frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$ 这是导数的定义式，对应函数 $f(x) = \sqrt{x}$ 的导数： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

分析第二个多项式

$x + \sqrt{x(x+h)} + x + h = 2x + h + \sqrt{x(x+h)}$ 当 $h \to 0$ 时： $\sqrt{x(x+h)} \approx \sqrt{x^2} = x \quad$

因此： $2x + h + x = 3x + h \quad \xrightarrow{h \to 0} \quad 3x$

合并极限

$\lim_{h \to 0} \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 3x \right) = \frac{3x}{2\sqrt{x}} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$

例题3

已知多项式函数： $f(x) = x^3 + 2x$ ，求 $f'(x)$

步骤：

1. 代入导数定义：

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 + 2(x+h) - (x^3 + 2x)}{h}$

2. 展开 $(x+h)^3$ ：

$x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2x + 2h - x^3 - 2x$

3. 化简分子：

$3x^2h + 3xh^2 + h^3 + 2h$

4. 分子分母约分 $h$ ：

$3x^2 + 3xh + h^2 + 2$

5. 取极限 $h \to 0$ ： $f'(x) = 3x^2 + 2$

例题4

已知复合根式函数： $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ ，求 $f'(x)$

步骤

1. 代入导数定义： $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{(x+h)^2 + 1} - \sqrt{x^2 + 1}}{h}$

2. 分子有理化： $\frac{(\sqrt{(x+h)^2 + 1} - \sqrt{x^2 + 1})(\sqrt{(x+h)^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 1})}{h(\sqrt{(x+h)^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 1})}$

3. 分子展开： $(x+h)^2 + 1 - (x^2 + 1) = 2xh + h^2$

4. 约分 $h$ ： $\frac{2x + h}{\sqrt{(x+h)^2 + 1} + \sqrt{x^2 + 1}}$

5. 取极限 $h \to 0$ ： $f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

验证链式法则： $\frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

例题5

已知三角函数： f(x) = sin(x) 求 f'(x)

步骤：

1. 代入导数定义：

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}$

2. 利用三角恒等式：

$\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

$\frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} = \sin x \cdot \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \cdot \frac{\sin h}{h}$

3. 利用极限公式：

$\lim_{h \to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0, \quad \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$

4. 最终结果：

$f'(x) = \cos x$

总结

导数定义法的核心技巧

1. 分式函数：

通分后约分 $h$ （如 $\frac{1}{x}$ ）。

2. 根式函数：

分子有理化（如 $\sqrt{x}$ 或复合根式）。

3. 多项式/幂函数：

二项式展开后保留线性项（如 $x^n$ ）。

4. 三角函数：

利用三角恒等式和已知极限（如 $\sin(x)$ ）。

5. 复合函数：

通过代数变形分离变量如 $\sqrt{x^2 + 1}$ 。

导数定义法的关键是通过代数技巧消除分母中的 $h$ ，并利用极限性质求出结果。幂法则虽然高效，但定义法是理解导数本质的基础。

幂法则求解

幂法则核心公式

若函数形式为 $f(x) = k \cdot x^n$ （其中 $k$ 是常数， $n$ 是实数），

则其导数为： $f'(x) = k \cdot n \cdot x^{n-1}$

关键步骤解析

1. 提取常数：将常数 $k$ 保留在导数中。

2. 应用幂法则：

- 将指数 $n$ 作为系数与 $k$ 相乘。

- 将原指数 $n$ 减 1，得到新的指数 $n-1$ 。

典型案例

原函数	导数计算过程	结果
$7x^2$	$7 \cdot 2 \cdot x^{2-1}$	$14x$
$-x^2$	$-1 \cdot 2 \cdot x^{2-1}$	$-2x$
$13x^4$	$13 \cdot 4 \cdot x^{4-1}$	$52x^3$
$\frac{1}{2}x^3$	$\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot x^{3-1}$	$\frac{3}{2}x^2$
$5x^{-2}$	$5 \cdot (-2) \cdot x^{-2-1}$	$-10x^{-3}$
$\sqrt{x} = x^{1/2}$	$\frac{1}{2} \cdot x^{1/2 - 1}$	$\frac{1}{2}x^{-1/2}$

吐个槽，表格+Latex输入真心头疼。

常见问题与注意事项

1. 符号处理：负号视为 $k = -1$ ，直接参与计算。

- 例： $-3x^5$ 的导数为 $-3 \cdot 5 \cdot x^4 = -15x^4$ 。

2. 分数指数：根号或分数指数（如 $x^{1/3}$ ）同样适用幂法则。

- 例： $x^{1/3}$ 的导数为 $\frac{1}{3}x^{-2/3}$ 。

3. 零次幂：常数项（如 $5 = 5x^0$ ）的导数为 0。

- 例： $8$ 的导数为 $8 \cdot 0 \cdot x^{-1} = 0$ 。

扩展应用

- 多项式函数：逐项求导后相加。

- 例： $3x^2 + 5x - 2$ 的导数为 $6x + 5$ 。

- 复合函数：结合链式法则。

利用导数的线性性质求解

导数的线性性质

若函数形式为： $f(x) = u(x) \pm v(x) \pm w(x) \pm \cdots$

则其导数为： $f'(x) = u'(x) \pm v'(x) \pm w'(x) \pm \cdots$

关键步骤解析

1. 分解函数：

将多项式拆分为独立项（如 $3x^5$ , $-2x^2$ , $x$ , $2$ ）。

2. 逐项求导：

- 对每个项分别应用幂法则或常数法则。

- 保留原项的符号（正/负）。

3. **合并结果**：将各导数相加或相减。

典型案例

求 $f(x) = 3x^5 - 2x^2 + x + 2$ 的导数

项	导数计算过程	结果
$3x^5$	$3 \cdot 5 \cdot x^{5-1}$	$15x^4$
$-2x^2$	$-2 \cdot 2 \cdot x^{2-1}$	$-4x$
$x$	$1 \cdot x^{1-1}$	1
2	常数导数为 0	0
总和	$15x^4 - 4x + 1 + 0$	$15x^4 - 4x + 1$

符号处理技巧

1. 负系数：将负号视为系数的一部分。 - 例： $-2x^2$ 的导数为 $-2 \cdot 2x = -4x$ 。

2. 隐含系数： $x$ 可视为 $1x^1$ ，因此导数为 $1 \cdot 1x^0 = 1$ 。

3. 常数项：直接舍去（导数为 $0$ ）。

常见错误与注意事项

1. 漏项：确保所有项都被求导，包括常数项。 - 错误： $f(x) = x^3 + 5$ 的导数写成 $3x^2$ （正确应为 $3x^2 + 0$ ）。

2. 指数错误：每次求导后指数减 $1$ ，而非直接删除。 - 错误： $x^2$ 的导数写成 $2x^1$ （正确应为 $2x$ ）。

3. 符号混淆：逐项处理符号，避免合并时出错。 - 错误： $-x^2$ 的导数写成 $2x$ （正确应为 $-2x$ ）。

扩展应用

1. 高阶多项式： - 例： $f(x) = 4x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 7x - 9$ 导数： $12x^2 - x + 7$ 。

2. 分数指数： - 例： $f(x) = 2x^{1/2} - 3x^{-1}$ 导数： $2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - 3 \cdot (-1)x^{-2} = x^{-1/2} + 3x^{-2}$ 。

3. 复合函数： - 结合链式法则。 - 例： $f(x) = (x^2 + 1)^3$ 的导数需先展开或用链式法则。

实际应用场景

- 优化问题：求函数极值时需先求导并解方程 $f'(x) = 0$ 。

- 曲线分析：导数表示斜率，用于判断函数增减性和凹凸性。

- 物理模型：如位移函数的导数是速度，二阶导数是加速度。

乘积法则求解

基本形式

定义：若 $h(x) = f(x)g(x)$ ，则导数为： $h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$

关键：交叉相乘导数与原函数后相加，而非直接相乘导数。

应用示例

设 $f(x) = x^5 + 2x + 1$ ， $g(x) = 3x^8 - 2x^7 - x^4 - 3x$ ，

则： $h'(x) = (5x^4 + 2)(3x^8 - 2x^7 - x^4 - 3x) + (x^5 + 2x + 1)(24x^7 - 14x^6 - 4x^3 - 3)$

注意：展开导数表达式可能比展开原函数更繁琐，故保留乘积形式更高效。

替代形式（变量替换）

- 若 $y = uv$ ，（ $( u, v )$ 为 $x$ 的函数），

则： $\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}$

示例

$u = x^3 + 2x$ ， $v = 3x + \cdots$ ，导数为 $\frac{dy}{dx} = (x^3 + 2x) \cdot 3 + (3x + \cdots) \cdot (3x^2 + 2)$ 。

扩展至三个函数

- 若 $y = uvw$ ，则导数为： $\frac{dy}{dx} = u'vw + uv'w + uvw'$

示例

分解 $y = (x^2 + 1)(x^2 + 3x)(x^5 + 2x^4 + 7)$ ，分别求导后组合。

适用场景

- 无法展开的表达式（如 $x \sin x$ ）：必须使用乘积法则。

- 过于复杂的多项式：避免展开，直接应用法则更高效。

核心技巧

- 交叉相乘：导数与原函数交叉配对后相加。

- 多变量扩展：对任意多个函数的乘积，每次仅对一个函数求导，其余保持不变。

- 简化优先：仅在必要时展开，否则保留乘积形式。

商法则求解

基本形式

- 定义：若 $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ ，则导数为： $h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$

- 关键：分子为导数交叉相乘后相减（与乘积法则的加号不同），分母为原分母函数的平方。

示例

指数函数与多项式的商

问题：求函数 $y = \frac{x^2}{e^x}$ 的导数。

1：定义分子和分母

- 分子函数： $u = x^2$

- 分母函数： $v = e^x$

2：求导

- 分子导数： $u' = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

- 分母导数： $v' = \frac{d}{dx}(e^x) = e^x$

3：应用商法则

根据商法则 $\frac{dy}{dx} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ ，

代入得：

$\frac{dy}{dx} = \frac{(2x)(e^x) - (x^2)(e^x)}{(e^x)^2}$

4：化简结果

提取公因子：分子中 $e^x$ 是公共因子，可提出： $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x(2x - x^2)}{(e^x)^2}$

约分：分子分母中的 $e^x$ 约去一个： $\frac{dy}{dx} = \frac{2x - x^2}{e^x}$

5：结果验证

简化原函数：原函数 $y = \frac{x^2}{e^x}$ 可写成 $y = x^2 e^{-x}$ ，用乘积法则验证： $\frac{dy}{dx} = 2x \cdot e^{-x} + x^2 \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(2x - x^2)$ 与商法则结果一致。

关键总结

符号规则：分子是“导数乘原分母”减“原分子乘导数”。

分母处理：始终为原分母的平方。

适用场景：当分式无法化简为单项式时，直接使用商法则更高效。

此例涉及指数函数，展示了商法则在跨函数类型中的普适性。我个人习惯幂乘除三法则同记，其它单记。

链式法则求解

链式法则核心思想

通过分解复合函数为简单函数的组合，分步求导后相乘，避免直接展开复杂表达式。

链式法则两种形式

- 版本1：若 $h(x) = f(g(x))$ ，则 $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ （外层函数导数在内层函数处的值 × 内层函数导数）

- 版本2：若 $y = f(u)$ 且 $u = g(x)$ ，则 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ （通过中间变量 $u$ 连接 $y$ 和 $x$ ）

应用步骤

1. 分解函数：将复合函数拆分为外层函数 $f(u)$ 和内层函数 $u = g(x)$ 。

2. 分别求导：计算 $\frac{dy}{du}$ （外层导数）和 $\frac{du}{dx}$ （内层导数）。

3. 相乘化简：将结果相乘，并替换 $u$ 为原表达式。

典型例题解析

- 例1： $h(x) = (x^2 + 1)^{99}$

- 分解： $f(u) = u^{99}$ , $u = g(x) = x^2 + 1$

- 求导： $f'(u) = 99u^{98}$ , $g'(x) = 2x$

- 结果： $h'(x) = 99(x^2 + 1)^{98} \cdot 2x = 198x(x^2 + 1)^{98}$

- 例2： $y = \frac{1}{x^3 - 7x}$

- 分解： $f(u) = \frac{1}{u}$ , $u = g(x) = x^3 - 7x$

- 求导： $f'(u) = -\frac{1}{u^2}$ , $g'(x) = 3x^2 - 7$

- 结果： $\frac{dy}{dx} = -\frac{3x^2 - 7}{(x^3 - 7x)^2}$

- 多层复合例3： $y = \left( (x^3 - 10x)^9 + 22 \right)^8$

- 分解： $y = v^8$ ， $v = u^9 + 22$ , $u = x^3 - 10x$

- 求导： $\frac{dy}{dv} = 8v^7$ , $\frac{dv}{du} = 9u^8$ , $\frac{du}{dx} = 3x^2 - 10$

- 结果： $\frac{dy}{dx} = 8 \cdot 9 \cdot (3x^2 - 10) \cdot \left( (x^3 - 10x)^9 + 22 \right)^7 \cdot (x^3 - 10x)^8$

注意事项

- 复合顺序重要： $f(g(x))$ 和 $g(f(x))$ 的导数不同。

- 中间变量替换：最终结果需用原变量 $x$ 表示，避免残留 $u$ 或 $v$ 。

- 不可约分性： $\frac{dy}{du}$ 和 $\frac{du}{dx}$ 是极限符号，非分数，但运算时可视为分数处理。

实际应用技巧

- 当已知中间函数在某点的值和导数时（如 $g(5) = 4$ , $g'(5) = 7$ ），直接代入链式法则公式计算。

- 多层复合时，按“外→内”顺序逐层求导并相乘。

总结

链式法则是处理复合函数导数的核心工具，通过分解函数、分步求导、合并结果，高效解决复杂导数问题。掌握此法则需多练习，注意复合顺序和变量替换。