【国科大矩阵分析及应用】第六次作业

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证明题1解答

(5.2.9)的证明如下：

使用CBS不等式可得：
$$\begin{gathered} \left|{\mathbf{y}}^{\ast }\mathbf{Ax}\right|\le \Vert \mathbf{y}{\Vert }_2\Vert \mathbf{Ax}{\Vert }_2⟹\underset{\begin{array}{c}\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert {}_2=1 \\ \Vert \mathbf{y}{\Vert }_2=1\end{array}}{\max }\left|{\mathbf{y}}^{\ast }\mathbf{Ax}\right|\le \underset{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1}{\max }\Vert \mathbf{Ax}{\Vert }_2=\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2 \end{gathered}$$
然后证明在二维单位球面上的$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$对实际上能取到等式。若${\mathbf{x}}_0$是一个单位长度的向量则：
$${\Vert \mathbf{A}{\mathbf{x}}_0\Vert }_2=\underset{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1}{\max }\Vert \mathbf{Ax}{\Vert }_2=\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2$$
如果${\mathbf{y}}_0=\frac{\mathbf{A}{\mathbf{x}}_0}{{\Vert \mathbf{A}{\mathbf{x}}_0\Vert }_2}=\frac{\mathbf{A}{\mathbf{x}}_0}{\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2}$，可得${\mathbf{y}}_0^{\ast }\mathbf{A}{\mathbf{x}}_0=\frac{{\mathbf{x}}_0^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}{\mathbf{x}}_0}{\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2}=\frac{{\Vert \mathbf{A}{\mathbf{x}}_0\Vert }_2^2}{\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2}=\frac{\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2^2}{\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2}=\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2$，则得证。

(5.2.10)的证明如下：

由(a)可直接推出：
$$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2=\underset{\begin{array}{c}\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1\\ \Vert \mathbf{y}{\Vert }_2=1\end{array}}{\max }\left|{\mathbf{y}}^{\ast }\mathbf{Ax}\right|=\underset{\begin{array}{c}\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1\\ \Vert \mathbf{y}{\Vert }_2=1\end{array}}{\max }\left|{\left({\mathbf{y}}^{\ast }\mathbf{Ax}\right)}^{\ast }\right|=\underset{\begin{array}{c}\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1\\ \Vert \mathbf{y}{\Vert }_2=1\end{array}}{\max }\left|{\mathbf{x}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{y}\right|={\Vert {\mathbf{A}}^{\ast }\Vert }_2$$

(5.2.11)的证明如下：

由(a)的结论$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2={\max }_{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1}{\max }_{\Vert \mathbf{y}{\Vert }_2=1}\left|{\mathbf{y}}^{\ast }\mathbf{Ax}\right|$可知：
$${\Vert {\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}\Vert }_2=\underset{\begin{array}{c}\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1\\ \Vert \mathbf{y}{\Vert }_2=1\end{array}}{\max }\left|{\mathbf{y}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{Ax}\right|$$
利用CBS不等式可知：
$$\underset{\begin{array}{c}\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1\\ \Vert \mathbf{y}{\Vert }_2=1\end{array}}{\max }\left|{\mathbf{y}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{Ax}\right|\le \underset{\begin{array}{c}\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1\\ \Vert \mathbf{y}{\Vert }_2=1\end{array}}{\max }\Vert \mathbf{Ay}{\Vert }_2\Vert \mathbf{Ax}{\Vert }_2$$
故综上可以给出推导过程：
$${\Vert {\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}\Vert }_2=\underset{\begin{array}{c}\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1\\ \Vert \mathbf{y}{\Vert }_2=1\end{array}}{\max }\left|{\mathbf{y}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{Ax}\right|\le \underset{\begin{array}{c}\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1\\ \Vert \mathbf{y}{\Vert }_2=1\end{array}}{\max }\Vert \mathbf{Ay}{\Vert }_2\Vert \mathbf{Ax}{\Vert }_2=\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2^2$$

(5.2.12)的证明如下：

令$\mathbf{D}=\left(\begin{array}{cc}\mathbf{A}& 0\\ 0& \mathrm{B}\end{array}\right)$，由(5.2.7)可知$\Vert \mathbf{D}{\Vert }_2^2$是最大值$\lambda$，故可推得${\mathbf{D}}^T\mathbf{D}-\lambda \mathbf{I}$是奇异的。但是当且仅当${\mathbf{A}}^T\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I}$ or ${\mathbf{B}}^T\mathbf{B}-\lambda \mathbf{I}$是奇异的时，${\mathbf{D}}^T\mathbf{D}-\lambda \mathbf{I}$是奇异的，故：
λ max ⁡ ( D ) = max ⁡ { λ max ⁡ ( A ) , λ max ⁡ ( B ) } \lambda_{\max }(\mathbf{D})=\max \left\{\lambda_{\max }(\mathbf{A}), \lambda_{\max }(\mathbf{B})\right\} λmax​(D)=max{λmax​(A),λmax​(B)}
可知：
∥ ( A 0 0 B ) ∥ 2 = max ⁡ { ∥ A ∥ 2 , ∥ B ∥ 2 } . \left\|\left(\begin{array}{cc} \mathbf{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{B} \end{array}\right)\right\|_2=\max \left\{\|\mathbf{A}\|_2,\|\mathbf{B}\|_2\right\} . ​(A0​0B​) ​2​=max{∥A∥2​,∥B∥2​}.

(5.2.13)的证明如下：

由题可知，如果${\mathbf{UU}}^{\ast }=\mathbf{I}$，那么可得：
$${\Vert {\mathbf{U}}^{\ast }\mathbf{Ax}\Vert }_2^2={\mathbf{x}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{U}{\mathbf{U}}^{\ast }\mathbf{Ax}={\mathbf{x}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{Ax}=\Vert \mathbf{Ax}{\Vert }_2^2$$
故可推出:
$${\Vert {\mathbf{U}}^{\ast }\mathbf{A}\Vert }_2=\underset{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1}{\max }{\Vert {\mathbf{U}}^{\ast }\mathbf{Ax}\Vert }_2=\underset{\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=1}{\max }\Vert \mathbf{Ax}{\Vert }_2=\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2$$
如果${\mathbf{V}}^{\ast }\mathbf{V}=\mathbf{I}$，使用刚才证明的$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2={\Vert {\mathbf{A}}^{\ast }\Vert }_2$可以推出：
$$\begin{gathered} \Vert \mathbf{AV}{\Vert }_2={\Vert (\mathbf{AV}{)}^{\ast }\Vert }_2={\Vert {\mathbf{V}}^{\ast }{\mathbf{A}}^{\ast }\Vert }_2={\Vert {\mathbf{A}}^{\ast }\Vert }_2=\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2 \\ ⟹{\Vert {\mathbf{U}}^{\ast }\mathbf{AV}\Vert }_2=\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2 \end{gathered}$$

证明题2解答

(5.2.14)的证明如下：

​ 对于所有$||\mathbf{x}|{|}_1=1$的$\mathbf{x}$，由标量三角不等式可知：
$$\begin{array}{rl}\Vert \mathbf{Ax}{\Vert }_1& =\sum _i\left|{\mathbf{A}}_{i\ast }\mathbf{x}\right|=\sum _i\left|\sum _j{a}_{ij}{x}_j\right|\le \sum _i\sum _j\left|a_{ij}\right|\left|x_j\right|=\sum _j\left(\left|x_j\right|\sum _i\left|a_{ij}\right|\right)\\ & \le \left(\sum _j\left|x_j\right|\right)\left(\underset{j}{\max }\sum _i\left|a_{ij}\right|\right)=\underset{j}{\max }\sum _i\left|a_{ij}\right|.\end{array}$$
上述不等式可以取到等式，是因为如果${\mathbf{A}}_{\ast k}$是绝对值和最大的列，令$\mathbf{x}={\mathbf{e}}_k$,并注意到$||{\mathbf{e}}_{\mathbf{k}}|{|}_1=1$, 并且

${\Vert {\mathbf{Ae}}_k\Vert }_1={\Vert {\mathbf{A}}_{\ast k}\Vert }_1={\max }_j{\sum }_i\left|a_{ij}\right|$， 故上式得证。

(5.2.15)的证明如下：

​ 对于所有$||\mathbf{x}|{|}_{\infty }=1$的$\mathbf{x}$，可知：
$$\Vert \mathbf{Ax}{\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\max }\left|\sum _j{a}_{ij}{x}_j\right|\le \underset{i}{\max }\sum _j\left|a_{ij}\right|\left|x_j\right|\le \underset{i}{\max }\sum _j\left|a_{ij}\right|.$$
上述不等式可取得等号，是因为如果${\mathbf{A}}_{k\ast }$是绝对值和最大的行，并且如果$\mathbf{x}$是满足如下条件的向量：
$$x_j=\{\begin{array}{rl}1& \text{ if }{a}_{kj}\ge 0\\ -1& \text{ if }{a}_{kj}<0\end{array}$$
那么可以得到：
$$\{\begin{array}{l}\left|{\mathbf{A}}_{i\ast }\mathbf{x}\right|=\left|{\sum }_j{a}_{ij}{x}_j\right|\le {\sum }_j\left|a_{ij}\right|\text{ for all }i,\\ \left|{\mathbf{A}}_{k\ast }\mathbf{x}\right|={\sum }_j\left|a_{kj}\right|={\max }_{il}{\sum }_j\left|a_{ij}\right|,\end{array}$$
故可得$||\mathbf{x}|{|}_{\infty }=1$，以及$\Vert \mathbf{Ax}{\Vert }_{\infty }={\max }_i\left|{\mathbf{A}}_{i\ast }\mathbf{x}\right|={\max }_i{\sum }_j\left|a_{ij}\right|$，故上式得证。

第6题解答

可以通过举反例的方式说明，如果取$\mathbf{x}={\mathbf{e}}_1$, $\mathbf{y}={\mathbf{e}}_2$的话，那么可知：
$${\Vert {\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2\Vert }_{\infty }^2+{\Vert {\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2\Vert }_{\infty }^2=2,$$
但是$2\left({\Vert {\mathbf{e}}_1\Vert }_{\infty }^2+{\Vert {\mathbf{e}}_2\Vert }_{\infty }^2\right)=4$，故可证。

第11题解答

此时不会有任何改变，因为对正交向量集使用Gram-Schmidt化所得到的结果与原集合相同

第1题解答

$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ -4\\ -2\end{array}\right)$：

1-norms为：|2|+|1|+|-4|+|-2|=2+1+4+2=9

2-norms为：sqrt(|2|^2+|1|+|-4|+|-2|)=sqrt(25)=5

∞-norms为：4

$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}1+\mathrm{i}\\ 1-\mathrm{i}\\ 1\\ 4\mathrm{i}\end{array}\right)$

1-norms为：|1+i|+|1-i|+|1|+|4i|=$2\sqrt{2}+1+4$=$2\sqrt{2}+5$

2-norms为：$\sqrt{2+2+1+16}=\sqrt{21}$

∞-norms为：4

第2题解答

$$\Vert \mathbf{x}-\mathbf{y}\Vert =\Vert (-1)(\mathbf{y}-\mathbf{x})\Vert =|(-1)|\Vert \mathbf{y}-\mathbf{x}\Vert =\Vert \mathbf{y}-\mathbf{x}\Vert$$

向量范数的齐次性

第3题解答

可以求得$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T=\left(\begin{array}{lc}5& -5\\ -5& 5\end{array}\right)$,

矩阵F范数$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_F$为$\sqrt{trace(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T)}=\sqrt{10}$,

矩阵1范数$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_1$为模的最大列和：4

矩阵2范数$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2$为最大奇异值，或者说$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T$的最大特征值开根号。

矩阵∞范数$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_{\infty }$为模的最大行和：3

可以求得:
$$\mathbf{C}{\mathbf{C}}^T=\left(\begin{array}{lcc}36& -18& 36\\ -18& 9& -18\\ 36& -18& 36\end{array}\right)$$
矩阵F范数$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_F$为$\sqrt{trace(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T)}=\sqrt{81}=9$,

矩阵1范数$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_1$为模的最大列和：90

矩阵2范数$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_2$为最大奇异值，或者说$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T$的最大特征值开根号。

矩阵∞范数$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_{\infty }$为模的最大行和：90

第4题解答

$$\Vert \mathbf{A}{\Vert }_F=\sqrt{trace({\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A})}=\sqrt{trace(\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast })}=\Vert {\mathbf{A}}^{\ast }{\Vert }_F$$

第5题解答

第6题解答

可以通过举反例的方式说明，如果取$\mathbf{x}={\mathbf{e}}_1$, $\mathbf{y}={\mathbf{e}}_2$的话，那么可知：
$${\Vert {\mathbf{e}}_1+{\mathbf{e}}_2\Vert }_{\infty }^2+{\Vert {\mathbf{e}}_1-{\mathbf{e}}_2\Vert }_{\infty }^2=2,$$
但是$2\left({\Vert {\mathbf{e}}_1\Vert }_{\infty }^2+{\Vert {\mathbf{e}}_2\Vert }_{\infty }^2\right)=4$，故可证。

第7题解答

第8题解答

第9题解答

第10题解答

第11题解答

此时不会有任何改变，因为对正交向量集使用Gram-Schmidt化所得到的结果与原集合相同

第12题解答

QR分解的具体过程

第13题解答

正交矩阵的定义，P*P^T=I

第14题解答

第15题解答

第16题解答