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作业内容
第一题解答
(a)题解答如下：
A = ( 1 2 3 3 2 4 6 9 2 6 7 6 ) → ( 1 2 3 3 0 0 0 3 0 2 1 0 ) → ( 1 ‾ 2 3 3 0 2 ‾ 1 0 0 0 0 3 ‾ ) = E \mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1& 2 & 3 &3 \\ 2& 4 & 6 &9 \\ 2& 6& 7 &6 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1& 2 & 3 &3 \\ 0& 0 & 0 &3 \\ 0& 2& 1 &0 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} \underline{1} & 2 & 3 &3 \\ 0& \underline{2}& 1 &0 \\ 0& 0 & 0 &\underline{3} \end{pmatrix}=\mathbf{E} A= 122246367396 → 100202301330 → 100220310303 =E
由上可知，
r
a
n
k
(
A
)
=
2
rank(\mathbf{A})=2
rank(A)=2,由
E
\mathbf{E}
E知主元位置在第1列，第2列和第4列，所以
A
\mathbf{A}
A的基本列为
A
∗
1
,
A
∗
2
,
A
∗
4
\mathbf{A}_{\ast1},\mathbf{A}_{\ast2},\mathbf{A}_{\ast4}
A∗1,A∗2,A∗4.即：
$$
Basic\space Columns = \left {
\begin{pmatrix}
1\
2\
2
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2\
4\
6
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3\
0\
3
\end{pmatrix}
\right }
$$
(b)题解答如下：
B = ( 1 2 3 2 6 8 2 6 0 1 2 5 3 8 6 ) → ( 1 2 3 0 2 2 0 2 − 6 0 0 2 0 3 − 3 ) → ( 1 2 3 0 1 1 0 2 − 6 0 0 2 0 3 − 3 ) → ( 1 2 3 0 1 1 0 0 − 8 0 0 2 0 0 − 6 ) → ( 1 ‾ 2 3 0 1 ‾ 1 0 0 1 ‾ 0 0 0 0 0 0 ) = E \mathbf{B}=\begin{pmatrix} 1&2 &3 \\ 2&6 &8 \\ 2&6 &0 \\ 1&2 &5 \\ 3&8 &6 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&2 &3 \\ 0&2 &2 \\ 0&2 &-6 \\ 0&0 &2 \\ 0&3 &-3 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&2 &3 \\ 0&1 &1 \\ 0&2 &-6 \\ 0&0 &2 \\ 0&3 &-3 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1&2 &3 \\ 0&1 &1 \\ 0&0 &-8 \\ 0&0 &2 \\ 0&0 &-6 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} \underline{1}&2 &3 \\ 0&\underline{1} &1 \\ 0&0 &\underline{1} \\ 0&0 &0 \\ 0&0 &0 \end{pmatrix} =\mathbf{E} B= 122132662838056 → 100002220332−62−3 → 100002120331−62−3 → 100002100031−82−6 → 100002100031100 =E
由上可知，
r
a
n
k
(
B
)
=
3
rank(\mathbf{B})=3
rank(B)=3,由
E
\mathbf{E}
E知主元位置在第1列，第2列和第3列，所以
B
\mathbf{B}
B的基本列为
B
∗
1
,
B
∗
2
,
B
∗
3
\mathbf{B}_{\ast1},\mathbf{B}_{\ast2},\mathbf{B}_{\ast3}
B∗1,B∗2,B∗3.即·：
$$
Basic\space Columns = \left {
\begin{pmatrix}
1\
2\
2\1\3
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
2\
6\
6\2\8
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
3\
8\
0\5\6
\end{pmatrix}
\right }
$$
第二题解答
对一个3x4的矩阵来说，虽然其**行简化阶梯型(reduced row echelon form)是唯一的，但是由于三个行基本操作的不同，其行阶梯型(row echelon form)**是并不唯一的，由于3x4是一个不大的矩阵，故此处采用暴力枚举法具体给出有多少种不同形式的行阶梯型。虽是暴力枚举法，但为求一般性，给出符号定义为：
∗
\ast
∗为互不相等的非零量，
⋆
\star
⋆为主元，$\circ
为
0
。一普适
3
x
4
大小的矩阵
为0。一普适3x4大小的矩阵
为0。一普适3x4大小的矩阵\mathbf{A}$如下：
A
=
(
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
)
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} \ast & \ast & \ast &\ast \\ \ast & \ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast &\ast &\ast \end{pmatrix}
A=
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
为方便枚举，以
r
a
n
k
(
A
)
rank(\mathbf{A})
rank(A)为切入口进行枚举：
1.
r
a
n
k
(
A
)
=
0
rank(\mathbf{A})=0
rank(A)=0有：
(
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
)
\begin{pmatrix} \circ & \circ & \circ &\circ \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}
∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘
2.
r
a
n
k
(
A
)
=
1
rank(\mathbf{A})=1
rank(A)=1有：
(
∘
∘
∘
⋆
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
)
(
∘
∘
⋆
∗
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
)
(
∘
⋆
∗
∗
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
)
(
⋆
∗
∗
∗
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
∘
)
\begin{pmatrix} \circ & \circ & \circ &\star \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}
∘∘∘∘∘∘∘∘∘⋆∘∘
∘∘∘∘∘∘⋆∘∘∗∘∘
∘∘∘⋆∘∘∗∘∘∗∘∘
⋆∘∘∗∘∘∗∘∘∗∘∘
3.
r
a
n
k
(
A
)
=
2
rank(\mathbf{A})=2
rank(A)=2有：
(
∘
∘
⋆
∗
∘
∘
∘
⋆
∘
∘
∘
∘
)
(
∘
⋆
∗
∗
∘
∘
⋆
∗
∘
∘
∘
∘
)
(
∘
⋆
∗
∗
∘
∘
∘
⋆
∘
∘
∘
∘
)
(
⋆
∗
∗
∗
∘
⋆
∘
∘
∘
∘
∘
∘
)
(
⋆
∗
∗
∗
∘
∘
⋆
∘
∘
∘
∘
∘
)
(
⋆
∗
∗
∗
∘
∘
∘
⋆
∘
∘
∘
∘
)
\begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}
∘∘∘∘∘∘⋆∘∘∗⋆∘
∘∘∘⋆∘∘∗⋆∘∗∗∘
∘∘∘⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘
⋆∘∘∗⋆∘∗∘∘∗∘∘
⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘∗∘∘
⋆∘∘∗∘∘∗∘∘∗⋆∘
4.
r
a
n
k
(
A
)
=
3
rank(\mathbf{A})=3
rank(A)=3有：
(
∘
⋆
∗
∗
∘
∘
⋆
∗
∘
∘
∘
⋆
)
(
⋆
∗
∗
∗
∘
⋆
∘
∘
∘
∘
⋆
∘
)
(
⋆
∗
∗
∗
∘
⋆
∘
∘
∘
∘
∘
⋆
)
(
⋆
∗
∗
∗
∘
∘
⋆
∘
∘
∘
∘
⋆
)
\begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\star &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix}
∘∘∘⋆∘∘∗⋆∘∗∗⋆
⋆∘∘∗⋆∘∗∘⋆∗∘∘
⋆∘∘∗⋆∘∗∘∘∗∘⋆
⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘∗∘⋆
由上可知，一个3x4的矩阵有1+4+6+4=15种不同的行阶梯型(row echelon form)
第三题解答
(a)题解答如下：
将系数矩阵化简成行阶梯型可得：
A
=
(
1
2
1
2
2
4
1
3
3
6
1
4
)
→
(
1
2
1
2
0
0
−
1
−
1
0
0
−
2
−
2
)
→
(
1
‾
2
0
1
0
0
1
‾
1
0
0
0
0
)
=
E
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 2 & 4 & 1 & 3\\ 3 & 6 & 1 & 4 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 2\\ 0 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} \underline{1} & 2 & 0 & 1\\ 0 & 0 & \underline{1} & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\mathbf{E}
A=
123246111234
→
1002001−1−22−1−2
→
100200010110
=E
因此，原齐次系统可以等价于如下简化齐次系统：
x
1
+
2
x
2
+
x
4
=
0
x
3
+
x
4
=
0
x_1+2x_2 +x_4=0\\ x_3+x_4=0
x1+2x2+x4=0x3+x4=0
选
x
1
x_1
x1和
x
3
x_3
x3为基变量，
x
2
x_2
x2和
x
4
x_4
x4为自由变量，则可写出如下通解：
(
x
1
x
2
x
3
x
4
)
=
(
−
2
x
2
−
x
4
x
2
−
x
4
x
4
)
=
(
−
2
x
2
x
2
0
0
)
+
(
−
x
4
0
−
x
4
x
4
)
=
x
2
(
−
2
1
0
0
)
+
x
4
(
−
1
0
−
1
1
)
\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2x_2-x_4\\x_2\\-x_4\\x_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2x_2\\x_2\\0\\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -x_4\\0\\-x_4\\x_4 \end{pmatrix}= x_2\begin{pmatrix} -2\\1\\0\\0 \end{pmatrix}+ x_4\begin{pmatrix} -1\\0\\-1\\1 \end{pmatrix}
x1x2x3x4
=
−2x2−x4x2−x4x4
=
−2x2x200
+
−x40−x4x4
=x2
−2100
+x4
−10−11
(b)题解答如下：
将系数矩阵化简成行阶梯型可得：
A
=
(
2
1
1
4
2
1
6
3
1
8
4
1
)
→
(
2
1
1
0
0
−
1
0
0
−
2
0
0
−
3
)
→
(
2
‾
1
0
0
0
1
‾
0
0
0
0
0
0
)
=
E
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 2& 1 &1 \\ 4& 2&1 \\ 6& 3 &1 \\ 8& 4&1 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 2& 1 &1 \\ 0& 0&-1 \\ 0& 0 &-2 \\ 0& 0 &-3 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} \underline{2}& 1 &0 \\ 0& 0&\underline{1} \\ 0& 0 & 0\\ 0& 0 &0 \end{pmatrix}=\mathbf{E}
A=
246812341111
→
200010001−1−2−3
→
200010000100
=E
因此，原齐次系统可以等价于如下简化齐次系统：
2
x
1
+
x
2
=
0
x
3
=
0
2x_1+x_2=0\\ x_3=0
2x1+x2=0x3=0
选
x
1
x_1
x1和
x
3
x_3
x3为基变量，
x
2
x_2
x2为自由变量，则可写出如下通解：
(
x
1
x
2
x
3
)
=
(
−
1
2
x
2
x
2
0
⋅
x
2
)
=
x
2
(
−
1
2
1
0
)
\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}x_2\\x_2\\0\cdot x_2 \end{pmatrix} =x_2\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\1\\0 \end{pmatrix}
x1x2x3
=
−21x2x20⋅x2
=x2
−2110
第四题解答
(a)题解答如下：
将增广矩阵
[
A
∣
b
]
[\mathbf{A}|\mathbf{b}]
[A∣b]通过高斯约当消去法化简为
E
[
A
∣
b
]
\mathbf{E}_{[\mathbf{A}|\mathbf{b}]}
E[A∣b]:
[
A
∣
b
]
=
(
1
2
1
2
3
2
4
1
3
4
3
6
1
4
5
)
→
(
1
2
1
2
3
0
0
−
1
−
1
−
2
0
0
−
2
−
2
−
4
)
→
(
1
2
0
1
1
0
0
1
1
2
0
0
0
0
0
)
=
E
[
A
∣
b
]
[\mathbf{A}|\mathbf{b}]=\left(\begin{array}{llll|l} 1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 3 & 4 \\ 3 & 6 & 1 & 4 & 5 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{llll|l} 1 & 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & -2 & -4 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{llll|l} 1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=\mathbf{E}_{[\mathbf{A}|\mathbf{b}]}
[A∣b]=
123246111234345
→
1002001−1−22−1−23−2−4
→
100200010110120
=E[A∣b]
因此，原非齐次系统可以等价于如下简化非齐次系统：
x
1
+
2
x
2
+
x
4
=
1
x
3
+
x
4
=
2
x_1+2x_2+x_4=1\\ x_3+x_4=2
x1+2x2+x4=1x3+x4=2
选
x
1
x_1
x1和
x
3
x_3
x3为基变量，
x
2
x_2
x2和
x
4
x_4
x4为自由变量，则可写出如下通解：
(
x
1
x
2
x
3
x
4
)
=
(
1
−
2
x
2
−
x
4
x
2
2
−
x
4
x
4
)
=
(
1
0
2
0
)
+
x
2
(
−
2
1
0
0
)
+
x
4
(
−
1
0
−
1
1
)
\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1-2x_2-x_4\\x_2\\2-x_4\\x_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\0\\2\\0 \end{pmatrix}+ x_2\begin{pmatrix} -2\\1\\0\\0 \end{pmatrix}+ x_4\begin{pmatrix} -1\\0\\-1\\1 \end{pmatrix}
x1x2x3x4
=
1−2x2−x4x22−x4x4
=
1020
+x2
−2100
+x4
−10−11
(b)题解答如下：
将增广矩阵
[
A
∣
b
]
[\mathbf{A}|\mathbf{b}]
[A∣b]通过高斯约当消去法化简为
E
[
A
∣
b
]
\mathbf{E}_{[\mathbf{A}|\mathbf{b}]}
E[A∣b]:
[
A
∣
b
]
=
(
2
1
1
4
4
2
1
6
6
3
1
8
8
4
1
10
)
→
(
2
1
1
4
0
0
−
1
−
2
0
0
−
2
−
4
0
0
−
3
−
6
)
→
(
1
1
2
0
1
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
)
=
E
[
A
∣
b
]
[\mathbf{A}|\mathbf{b}]=\left(\begin{array}{lll|l} 2 & 1 & 1 & 4 \\ 4 & 2 & 1 & 6 \\ 6 & 3 & 1 & 8 \\ 8 & 4 & 1 & 10 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{lll|l} 2 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & -2 & -4 \\ 0 & 0 & -3 & -6 \end{array}\right)\to \left(\begin{array}{lll|l} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=\mathbf{E}_{[\mathbf{A}|\mathbf{b}]}
[A∣b]=
24681234111146810
→
200010001−1−2−34−2−4−6
→
10002100001001200
=E[A∣b]
因此，原非齐次系统可以等价于如下简化非齐次系统：
x
1
+
1
2
x
2
=
1
x
3
=
2
x_1+\frac{1}{2}x_2=1\\x_3=2
x1+21x2=1x3=2
选
x
1
x_1
x1和
x
3
x_3
x3为基变量，
x
2
x_2
x2为自由变量，则可写出如下通解：
(
x
1
x
2
x
3
)
=
(
1
−
1
2
x
2
x
2
2
+
0
⋅
x
2
)
=
(
1
0
2
)
+
x
2
(
−
1
2
1
0
)
\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-\frac{1}{2}x_2\\x_2\\2+0\cdot x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\2 \end{pmatrix} +x_2\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}\\1\\0 \end{pmatrix}
x1x2x3
=
1−21x2x22+0⋅x2
=
102
+x2
−2110
第五题解答
如果 s 1 s_1 s1和 s 2 s_2 s2是非齐次系统的特解，那么 s 1 + s 2 s_1+s_2 s1+s2不是该非齐次系统的解。证明如下：
给出一个非齐次系统为
A
x
=
b
\mathbf{A}x=\mathbf{b}
Ax=b,如果
s
1
s_1
s1和
s
2
s_2
s2是该非齐次系统的特解则有：
A
s
1
=
b
(1)
\mathbf{A}s_1=\mathbf{b}\tag{1}
As1=b(1)
A s 2 = b (2) \mathbf{A}s_2=\mathbf{b} \tag{2} As2=b(2)
由式(1)+式(2)可知， A ( s 1 + s 2 ) = 2 b \mathbf{A}(s_1+s_2)=2\mathbf{b} A(s1+s2)=2b，故当且仅当 2 b = b 2\mathbf{b}=\mathbf{b} 2b=b时， s 1 + s 2 s_1+s_2 s1+s2才是该非齐次系统的解，但是此时 b = 0 \mathbf{b}=0 b=0与该系统是非齐次系统相矛盾，故如果 s 1 s_1 s1和 s 2 s_2 s2是非齐次系统的特解，那么 s 1 + s 2 s_1+s_2 s1+s2不是该非齐次系统的解。
第二题解答备份1
rank(A)=0,第1类
A = ( ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} \circ & \circ & \circ &\circ \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} A= ∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘
rank(A)=1,第2类
A = ( ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} \circ & \circ & \circ &\star \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} A= ∘∘∘∘∘∘∘∘∘⋆∘∘
[!NOTE]
通过该矩阵无法扩展 r a n k ( A ) = 2 rank(\mathbf{A})=2 rank(A)=2的分支，可知该主元位置仅有1种形式
rank(A)=1,第3类
A = ( ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} A= ∘∘∘∘∘∘⋆∘∘∗∘∘
rank(A)=2时
( ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} ∘∘∘∘∘∘⋆∘∘∗⋆∘
[!NOTE]
共计1+1=2种形式
rank(A)=1,第4类
A = ( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} A= ∘∘∘⋆∘∘∗∘∘∗∘∘
rank(A)=2时
( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} ∘∘∘⋆∘∘∗⋆∘∗∗∘ ∘∘∘⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘
rank(A)=3时
$$
\begin{pmatrix}
\circ & \star & \ast &\ast \
\circ & \circ & \star & \ast \
\circ & \circ &\circ &\circ
\end{pmatrix}\Longrightarrow
\begin{pmatrix}
\circ & \star & \ast &\ast \
\circ & \circ & \star & \ast \
\circ & \circ &\circ &\star
\end{pmatrix}
$$
[!NOTE]
共计1+2+1=4种情况
rank(A)=1,第5类
A = ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} A= ⋆∘∘∗∘∘∗∘∘∗∘∘
rank(A)=2时
( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} ⋆∘∘∗⋆∘∗∘∘∗∘∘ ⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘∗∘∘ ⋆∘∘∗∘∘∗∘∘∗⋆∘
rank(A)=3时
( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ⟹ ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ⋆ ) \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\Longrightarrow \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\star &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix} ⋆∘∘∗⋆∘∗∘∘∗∘∘ ⟹ ⋆∘∘∗⋆∘∗∘⋆∗∘∘ ⋆∘∘∗⋆∘∗∘∘∗∘⋆
( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ⟹ ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ⋆ ) \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\Longrightarrow \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix} ⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘∗∘∘ ⟹ ⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘∗∘⋆
[!NOTE]
共计1+3+2+1=7种情况
第二题解答备份2
对于如下一个3x4的矩阵来说，虽然其**行简化阶梯型(reduced row echelon form)是唯一的，但是由于三个行基本操作的不同，其行阶梯型(row echelon form)**是并不唯一的，由于3x4是一个不大的矩阵，故此处采用暴力枚举法具体给出有多少种不同形式的行阶梯型。
虽是暴力枚举法，但为求一般性，给出符号定义为：
∗
\ast
∗为互不相等的非零量，
⋆
\star
⋆为主元，$\circ
为
0
。有一普适
3
x
4
大小的矩阵
为0。有一普适3x4大小的矩阵
为0。有一普适3x4大小的矩阵\mathbf{A}$如下：
A
=
(
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
∗
)
\mathbf{A}=\begin{pmatrix} \ast & \ast & \ast &\ast \\ \ast & \ast & \ast & \ast \\ \ast & \ast &\ast &\ast \end{pmatrix}
A=
∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗∗
为方便枚举，下面以
r
a
n
k
(
A
)
rank(\mathbf{A})
rank(A)为切入口进行枚举：
rank(A)=0,第一种情况
A = ( ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} \circ & \circ & \circ &\circ \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} A= ∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘∘
[!NOTE]
共计1种形式
rank(A)=1,第二种情况
A = ( ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} \circ & \circ & \circ &\star \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} A= ∘∘∘∘∘∘∘∘∘⋆∘∘
[!NOTE]
通过该矩阵无法扩展 r a n k ( A ) = 2 rank(\mathbf{A})=2 rank(A)=2的分支，可知该主元位置仅有1种形式
rank(A)=1,第二种情况
A = ( ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} A= ∘∘∘∘∘∘⋆∘∘∗∘∘
rank(A)=2时
( ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ( ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \star & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} ∘∘∘∘∘∘⋆⋆∘∗∗∘ ∘∘∘∘∘∘⋆∘∘∗⋆∘
rank(A)=3时
( ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ⟹ ( ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ) ( ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ) \begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \star & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\Longrightarrow\begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \star & \ast \\ \circ & \circ &\star &\ast \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \star & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix} ∘∘∘∘∘∘⋆⋆∘∗∗∘ ⟹ ∘∘∘∘∘∘⋆⋆⋆∗∗∗ ∘∘∘∘∘∘⋆⋆∘∗∗⋆
( ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ⟹ ( ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ⋆ ) \begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\Longrightarrow\begin{pmatrix} \circ & \circ & \star &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix} ∘∘∘∘∘∘⋆∘∘∗⋆∘ ⟹ ∘∘∘∘∘∘⋆∘∘∗⋆⋆
[!NOTE]
共计1+2+3=6种情况
共计1+1=2种情况
rank(A)=1,第三种情况
A = ( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} A= ∘∘∘⋆∘∘∗∘∘∗∘∘
rank(A)=2时
( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \star & \ast & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} ∘∘∘⋆⋆∘∗∗∘∗∗∘ ∘∘∘⋆∘∘∗⋆∘∗∗∘ ∘∘∘⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘
rank(A)=3时
( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ⟹ ( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∗ ∗ ) ( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ) ( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ) \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \star & \ast & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\Longrightarrow \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \star & \ast & \ast \\ \circ & \star &\ast &\ast \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \star & \ast & \ast \\ \circ & \circ &\star &\ast \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \star & \ast & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix} ∘∘∘⋆⋆∘∗∗∘∗∗∘ ⟹ ∘∘∘⋆⋆⋆∗∗∗∗∗∗ ∘∘∘⋆⋆∘∗∗⋆∗∗∗ ∘∘∘⋆⋆∘∗∗∘∗∗⋆
( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ⟹ ( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ) ( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ) \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\Longrightarrow \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \ast \\ \circ & \circ &\star &\ast \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \ast \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix} ∘∘∘⋆∘∘∗⋆∘∗∗∘ ⟹ ∘∘∘⋆∘∘∗⋆⋆∗∗∗ ∘∘∘⋆∘∘∗⋆∘∗∗⋆
( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ⟹ ( ∘ ⋆ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ⋆ ) \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\Longrightarrow \begin{pmatrix} \circ & \star & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix} ∘∘∘⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘ ⟹ ∘∘∘⋆∘∘∗∘∘∗⋆⋆
[!NOTE]
共计1+3+6=12种情况
共计1+2+1=4种情况
rank(A)=1,第四种情况
A = ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \mathbf{A}=\begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} A= ⋆∘∘∗∘∘∗∘∘∗∘∘
rank(A)=2时
( ⋆ ∗ ∗ ∗ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ) \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \star & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix} ⋆⋆∘∗∘∘∗∘∘∗∘∘ ⋆∘∘∗⋆∘∗∘∘∗∘∘ ⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘∗∘∘ ⋆∘∘∗∘∘∗∘∘∗⋆∘
rank(A)=3时
( ⋆ ∗ ∗ ∗ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ⟹ ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ⋆ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ) \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \star & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\Longrightarrow \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \star & \circ & \circ & \circ \\ \star & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \star & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \star &\circ &\circ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \star & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\star &\circ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \star & \circ & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\star &\circ \end{pmatrix} ⋆⋆∘∗∘∘∗∘∘∗∘∘ ⟹ ⋆⋆⋆∗∘∘∗∘∘∗∘∘ ⋆⋆∘∗∘⋆∗∘∘∗∘∘ ⋆⋆∘∗∘∘∗∘⋆∗∘∘ ⋆⋆∘∗∘∘∗∘⋆∗∘∘
( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ⟹ ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ⋆ ) \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\Longrightarrow \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \star &\circ &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\star &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \star & \circ & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix} ⋆∘∘∗⋆∘∗∘∘∗∘∘ ⟹ ⋆∘∘∗⋆⋆∗∘∘∗∘∘ ⋆∘∘∗⋆∘∗∘⋆∗∘∘ ⋆∘∘∗⋆∘∗∘∘∗∘⋆
( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ⟹ ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ) ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ⋆ ) \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\Longrightarrow \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \circ \\ \circ & \circ &\star &\circ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \star & \circ \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix} ⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘∗∘∘ ⟹ ⋆∘∘∗∘∘∗⋆⋆∗∘∘ ⋆∘∘∗∘∘∗⋆∘∗∘⋆
( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ∘ ) ⟹ ( ⋆ ∗ ∗ ∗ ∘ ∘ ∘ ⋆ ∘ ∘ ∘ ⋆ ) \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\circ \end{pmatrix}\Longrightarrow \begin{pmatrix} \star & \ast & \ast &\ast \\ \circ & \circ & \circ & \star \\ \circ & \circ &\circ &\star \end{pmatrix}\ ⋆∘∘∗∘∘∗∘∘∗⋆∘ ⟹ ⋆∘∘∗∘∘∗∘∘∗⋆⋆
[!NOTE]
共计1+4+4+3+2+1=15种情况
共计1+3+2+1=7种情况
chap.2 Rectangular Systems and Echelon Forms
2.1 ROW ECHELON FORM AND RANK
行阶梯型与秩
接下来分析n个未知量，m行线性方程组：
其中,m与n可能不同，如果我们不知道m与n是否相同的话，这个系统就成为矩形系统(rectangular).
[!NOTE]
原本的高斯消去法会将有唯一解的方阵系统变成一个主对角线的三角矩阵，而对于矩阵系统，高斯消去法会不可避免的遇到无法进行主元位置选择的问题，此时对高斯消去法进行modified，带来了改进后的高斯消去法，最后的结果会将A化简成行阶梯型E。
[!NOTE]
由于行基本操作是灵活的，所以将A化简成E时是非唯一的，但是有一个东西是唯一的就是主元位置和主元数量，即非零行的第一个元素和非零行的个数，其中非零行的个数定义出来了矩阵的秩
[!NOTE]
矩阵的秩的定义：
- 主元元素的数量
- E中非零行的个数
- A中包含主元元素的列(基本列)的数量
Example 2.1.1
Example 2.1.2
Exercises for section 2.1
2.2 REDUCED ROW ECHELON FORM
[!NOTE]
由高斯约当消去法获得的矩阵
[!NOTE]
E A E_A EA可以用来表示 A A A的行关系
Example 2.2.1
Example 2.2.2
Example 2.2.3
Exercises for section 2.2
2.3 CONSISTENCY OF LINEAR SYSTEMS
- 至少有一个解就是相容的
- 无解就是不相容的
[!NOTE]
在 [ A ∣ b ] [\mathbf{A}|b] [A∣b]到 [ E ∣ c ] [\mathbf{E}|c] [E∣c]的过程中，如果出现某行的非零元素在右边的话，那么一定无解，由于行变换不改变解集，所以原系统肯定无解.
[!NOTE]
上面那种情况的另一种表述是，b如果是nonbasic列的话相容。
[!NOTE]
rank [ A ∣ b ] = rank ( A ) \operatorname{rank}[\mathbf{A} \mid \mathbf{b}]=\operatorname{rank}(\mathbf{A}) rank[A∣b]=rank(A)
[!NOTE]
系统相容的核心根源，以及三种表述方式。
Example 2.3.1
Exercises for section 2.3
2.4 HOMOGENEOUS SYSTEMS
[!NOTE]
右边全零则为齐次系统(homogeneous),否则为非齐次系统(nonhomogeneous).
全零解一定是其次系统的解，称其为平凡解(trivial solution).本章主要聚焦于是否有除了平凡解以外的解，如果有的话如何表述他们。
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