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作业内容
第一题解答
请解释为什么一个线性系统不能有两个不同的解,并且给出你的论据去解释如果一系统有超过一个解的话,就会有无限多不同的解。
对于线性系统而言,其解必须同时满足所有的线性方程。如存在两个不同的解 x 1 \mathbf{x}_1 x1和 x 2 \mathbf{x}_2 x2,由于线性系统的线性性质,故上述两个不同的解的线性组合 λ x 1 + ( 1 − λ ) x 2 \lambda \mathbf{x}_1+(1-\lambda)\mathbf{x}_2 λx1+(1−λ)x2也一定是该线性系统的解,不同的 λ \lambda λ即无穷多个解。
举例,如果该线性系统有两个不同的解 x = ( x 1 x 2 ⋮ x m ) \mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m\end{array}\right) x= x1x2⋮xm 以及 y = ( y 1 y 2 ⋮ y m ) \mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m\end{array}\right) y= y1y2⋮ym 的话,那么可以得到 z = x + y 2 = ( x 1 + y 1 2 x 2 + y 2 2 ⋮ x m + y m 2 ) \mathbf{z}=\frac{\mathbf{x}+\mathbf{y}}{2}=\left(\begin{array}{c}\frac{x_1+y_1}{2} \\ \frac{x_2+y_2}{2} \\ \vdots \\ \frac{x_m+y_m}{2}\end{array}\right) z=2x+y= 2x1+y12x2+y2⋮2xm+ym 是不同于 x \mathbf{x} x和 y \mathbf{y} y的第三个解。
第二题解答
由于
y
=
α
+
β
x
+
γ
x
2
y=\alpha+\beta x+\gamma x^2
y=α+βx+γx2经过点
(
1
,
1
)
(1,1)
(1,1),
(
2
,
2
)
(2,2)
(2,2),
(
3
,
0
)
(3,0)
(3,0),将上面三个点带入方程
y
=
α
+
β
x
+
γ
x
2
y=\alpha+\beta x+\gamma x^2
y=α+βx+γx2可得如下方程组：
1
=
α
+
β
×
1
+
γ
×
1
2
2
=
α
+
β
×
2
+
γ
×
2
2
0
=
α
+
β
×
3
+
γ
×
3
2
1=\alpha+\beta \times1+\gamma \times1^2 \\ 2=\alpha+\beta\times 2+\gamma\times 2^2\\ 0=\alpha+\beta\times 3+\gamma\times 3^2
1=α+β×1+γ×122=α+β×2+γ×220=α+β×3+γ×32
整理可得一个关于系数
α
,
β
,
γ
\alpha,\beta,\gamma
α,β,γ的方程组：
α
+
β
+
γ
=
1
α
+
2
β
+
4
γ
=
2
α
+
3
β
+
9
γ
=
0
\alpha+\beta +\gamma =1 \\ \alpha+2\beta+4\gamma=2\\ \alpha+3\beta+9\gamma=0
α+β+γ=1α+2β+4γ=2α+3β+9γ=0
通过高斯消元法可以很简单的求出:
α
=
−
3
β
=
11
2
γ
=
−
3
2
\alpha=-3\\ \beta=\frac{11}{2}\\ \gamma=-\frac{3}{2}
α=−3β=211γ=−23
第三题解答
(a) 如果使用3-digit arithmetic with no pivoting的方法求解:
该系统的增广矩阵为：
(
1
0
−
3
−
1
1
1
1
0
)
\left(\begin{array}{cc|c} 10^{-3} & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)
(10−31−1110)
对该增广矩阵做行变换
R
2
−
1
0
3
R
1
R_2-10^3 R_1
R2−103R1可得：
(
1
0
−
3
−
1
1
0
1
+
1
0
3
−
1
0
3
)
\left(\begin{array}{cc|c} 10^{-3} & -1 & 1 \\ 0 & 1+10^3 & -10^3 \end{array}\right)
(10−30−11+1031−103)
由于
f
l
(
1
+
1
0
3
)
=
f
l
(
.
1001
x
×
1
0
4
)
=
.
100
×
1
0
4
=
1
0
3
fl(1+10^3)=fl(.1001x\times10^4)=.100\times10^4=10^3
fl(1+103)=fl(.1001x×104)=.100×104=103，故上述行变换后的增广矩阵为：
(
1
0
−
3
−
1
1
0
1
0
3
−
1
0
3
)
\left(\begin{array}{cc|c} 10^{-3} & -1 & 1 \\ 0 & 10^3 & -10^3 \end{array}\right)
(10−30−11031−103)
通过Back substitution 可得：
x
=
0
y
=
−
1
x=0\\y=-1
x=0y=−1
(b) 如果使用3-digit arithmetic with partial pivoting的方法求解:
该系统的增广矩阵为：
(
1
0
−
3
−
1
1
1
1
0
)
\left(\begin{array}{cc|c} 10^{-3} & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right)
(10−31−1110)
选取交换两个方程的位置进行主元选择可得：
(
1
1
0
1
0
−
3
−
1
1
)
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0\\ 10^{-3} & -1 & 1 \end{array}\right)
(110−31−101)
对该增广矩阵做行变换
R
2
−
1
0
−
3
R
1
R_2-10^{-3} R_1
R2−10−3R1可得：
(
1
1
0
0
−
1
−
1
0
−
3
1
−
1
0
−
3
)
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0\\ 0 & -1-10^{-3} & 1 -10^{-3} \end{array}\right)
(101−1−10−301−10−3)
由于
f
l
(
−
1
−
1
0
3
)
=
−
1
,
f
l
(
1
−
1
0
−
3
)
=
1
fl(-1-10^3)=-1,fl(1-10^{-3})=1
fl(−1−103)=−1,fl(1−10−3)=1，故上述行变换后的增广矩阵为：
(
1
1
0
0
−
1
1
)
\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)
(101−101)
通过Back substitution 可得：
x
=
1
y
=
−
1
x=1\\y=-1
x=1y=−1
课本过一遍
cha1.Linear Equations
1.1 INTRODUCTION
1.2 GAUSSIAN ELIMINATION AND MATRICES
[!NOTE]
本章的核心问题就是求解该m行n个未知数的线性方程组
[!NOTE]
- 唯一解
- 无解
- 无穷多解
[!NOTE]
核心就是就确定该m行n个未知数的线性方程组的解的情况，如果是唯一解或者无穷多解，需要利用高斯消去法求出所有解
[!NOTE]
高斯消去法的作用：
- 将原本系统转换为另一个更简单但是等价的系统
- 两个系统如果拥有相同的解集，就是等价的
高斯消去法的方法：
- 通过逐步消去未知数，来得到一个容易求解的系统。
- 主要通过三种方法，来转换成一个等价系统
用Ek表示第k行方程可得：
E
k
:
a
k
1
x
1
+
a
k
2
x
2
+
⋯
+
a
k
n
x
n
=
b
k
E_k: \quad a_{k 1} x_1+a_{k 2} x_2+\cdots+a_{k n} x_n=b_k
Ek:ak1x1+ak2x2+⋯+aknxn=bk
那么原来的系统就可以写成：
S
=
{
E
1
E
2
⋮
E
m
}
\mathcal{S}=\left\{\begin{array}{c} E_1 \\ E_2 \\ \vdots \\ E_m \end{array}\right\}
S=⎩
⎨
⎧E1E2⋮Em⎭
⎬
⎫
对于一个线性系统S，以下三个基本运算中都会得到一个等价的系统S’
- 交换i行和j行
- 第i行成一个非零数
- 某行加上另一行的非零数倍
如果m=n,则是方阵系统，此时有唯一解。
2
x
+
y
+
z
=
1
6
x
+
2
y
+
z
=
−
1
−
2
x
+
2
y
+
z
=
7
\begin{array}{rr} 2 x+y+z= & 1 \\ 6 x+2 y+z= & -1 \\ -2 x+2 y+z= & 7 \end{array}
2x+y+z=6x+2y+z=−2x+2y+z=1−17
以如上方阵系统为例，每一步只关注一个位置，即主元位置(pivot position)
核心诉求，使用三个基本运算来消除该位置下方的所有项，在主元位置处的系数叫做主元元素(pivotal element)或者简称为主元(pivot),包含主元的方程叫做主元方程(pivotal equation).主元必须非零，如果主元位置处是0的话，则将相面的主元方程换上来，来变成非零。
Step 1. Eliminate all terms below the first pivot.
Step 2. Select a new pivot.
Step 3. Eliminate all terms below the second pivot.
 |  |
|---|
经过上述操作之后，可以说该系统被**三角化(triangularized)**了。
一个三角系统，可以通过**回代(back substitution)**很简单的求解。
Example 1.2.1
Exercises for section 1.2
1.3 GAUSS–JORDAN METHOD
是高斯消元法的变体，与高斯消元法的不同点如下：
- 每步，主元元素都强制为1
- 每步，主元元素上面和下面的项都被消除掉
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