【国科大矩阵分析及应用】第五次作业

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题目

第1题解答

由如下书上4.7中关于Linear$T$ransformastions的定义：

​ 由上可知，只有(b)是linear opeartors on ${\mathbf{R}}^2$

只需要看是不是满足线性算子中的线性的概念即可，即验证是否满足加法封闭性和乘法封闭性即可。

第2题解答

​ 对于任意$\mathbf{x}$都有$\mathbf{T}(0)=\mathbf{T}(\mathbf{x}-\mathbf{x})=\mathbf{T}(\mathbf{x})-\mathbf{T}(\mathbf{x})=0$,故对于所有的线性变换$\mathbf{T}$都有$\mathbf{T}(0)=0$成立。

第3题解答

​ 由上述相似性定义可知，若设 $A$和$B$相似，即$B$等于$P$的逆乘以$A$乘以$P$。考虑$B$的列空间，记为 $C(B)$。若$y$属于 $C(B)$，则存在向量$x$ 属于实数空间的$n$维空间（$R^n$），使得$y$等于$B$乘以$x$。因为$B$等于$P$的逆乘以$A$乘以$P$，所以$y$等于$P$的逆乘以 $A$ 乘以$P$再乘以$x$。令$z$ 等于$P$乘以$x$，那么$y$等于$P$的逆乘以 $A$ 乘以$z$，这说明 $C(B)$ 中的向量$y$可以通过$A$的列空间 $C(A)$ 中的向量$A$乘以$z$ 经过线性变换$P$的逆得到。反之，对于$A$的列空间 $C(A)$ 中的任意向量$w$ 等于$A$乘以$z$，令$x$ 等于$P$的逆乘以$z$，那么$B$乘以$x$ 等于（P 的逆乘以$A$乘以$P$）乘以（P 的逆乘以$z$）等于$P$的逆乘以 A 乘以$z$ 等于$P$的逆乘以$w$，这说明 $C(A)$ 中的向量经过变换可以得到 $C(B)$ 中的向量。所以 $C(A)$ 和 $C(B)$ 是同构的向量空间，同构的向量空间维数相同，即秩 (A) 等于 $C(A)$ 的维数等于 $C(B)$ 的维数等于秩 (B)，即可得：
$$\mathrm{rank}(A)=\dim (C(A))=\dim (C(B))=\mathrm{rank}(B)$$
简而言之，由于乘非奇异矩阵不会改变秩，故秩是一个similarity invariant

矩阵C的秩被定义为rank©, 那么C的矩阵为B=Q-CQ, 由于矩阵乘非奇异矩阵不改变,故

rank©=rank(B)=rank(Q-CQ)

第4题解答

由于标准基$S=\left\{\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\right\}$，

A(1,0,0)=(1,0,1)

A(0,1,0)=(2,-1,0)

A(0,0,1)=(-1,0,7)

$Q=I_S^{S^{\prime }}$

I(1,0,0)=(1,0,0)=(1,0,0)

I(1,1,0)=(1,1,0)=(1,1,0)

I(1,1,1)=(1,1,1)=(1,1,1)

(a)题解答如下：

​ 由题知，标准基$S=\left\{\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)\right\}$，那么可以求出线性变换在标准基下得表示：

​ 对于 $e_1=\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),$可得：$A\left(e_1\right)=A(1,0,0)=(1,0,1)$

​ 对于 $e_2=\left(\begin{array}{l}0\\ 1\\ 0\end{array}\right),$可得：$A\left(e_2\right)=A(0,1,0)=(2,-1,1)$

​ 对于 $e_3=\left(\begin{array}{l}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),$可得：$A\left(e_3\right)=A(0,0,1)=(-1,0,7)$

综上可知，线性变换在标准基下的$[\mathbf{A}{]}_{\mathcal{S}}$为：
$$[\mathbf{A}{]}_{\mathcal{S}}=\left(\begin{array}{rrr}1& 2& -1\\ 0& -1& 0\\ 1& 0& 7\end{array}\right)$$

(b)题解答如下：

​ 由题知，基$S^{\prime }=\left\{\left(\begin{array}{l}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\right\}$，那么可以求得从标准基到基$S^{\prime }$的基变换矩阵$\mathbf{Q}$为：$\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{lll}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，利用行变换法可求得${\mathbf{Q}}^{-1}=\left(\begin{array}{lll}1& -1& 0\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。

由$[\mathbf{A}{]}_{{\mathcal{S}}^{\prime }}={\mathbf{Q}}^{-1}[\mathbf{A}{]}_{\mathcal{S}}\mathbf{Q}$可得：$[\mathbf{A}{]}_{{\mathcal{S}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{rrr}1& 4& 3\\ -1& -2& -9\\ 1& 1& 8\end{array}\right)$

综上所述：
$$[\mathbf{A}{]}_{{\mathcal{S}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{rrr}1& 4& 3\\ -1& -2& -9\\ 1& 1& 8\end{array}\right)\text{ and }\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{lll}1& 1& 1\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

第5题解答

(a)题解答如下：

​ 对于线性变换$\mathbf{T}：V\to V$，要判断一个子空间在 $\mathbf{T}$ 下是否不变，就是看这个子空间里的任意一个向量$$v$$，经过$\mathbf{T}$ 变换后得到的$\mathbf{T}(v)$是不是还在这个子空间里。

对于平凡子空间 {$0$}，由线性变换的性质$\mathbf{T}(0)=\mathbf{T}(\mathbf{x}-\mathbf{x})=\mathbf{T}(\mathbf{x})-\mathbf{T}(\mathbf{x})=0$所以平凡子空间 {$0$} 在$\mathbf{T}$ 变换下是不变的。

(b)题解答如下：

​ 根据线性变换$\mathbf{T}：V\to V$的定义，$\mathbf{T}$是从向量空间$V$到它自身的一种映射。对于$V$里的任意一个向量$v$，对$v$ 进行 $\mathbf{T}$变换后得到的 $\mathbf{T}(v)$ 还是$V$里的向量（因为 $\mathbf{T}$的定义域是$V$，值域也是$V$）。

​ 所以整个向量空间$V$在 $\mathbf{T}$下是不变的。

第6题解答

​ 恒等算子$\mathbf{I}$是一种特殊的线性算子，对于向量空间$\mathcal{V}$中的任意向量$v$，都有$\mathbf{I}(v)=v$。

​ 对于平凡子空间 { 0 } \{\mathbf{0}\} {0}，有$\mathbf{I}(0)=0$,且$0$属于 { 0 } \{\mathbf{0}\} {0}，故 { 0 } \{\mathbf{0}\} {0}是恒等算子$\mathbf{I}$下不变的子空间。

​ 对于整个空间$\mathcal{V}$，对其中任意的$v\in \mathcal{V}$，有$\mathbf{I}(v)=v$，故$\mathcal{V}$是恒等算子$\mathbf{I}$下不变的子空间。

​ 对于$\mathcal{V}$的任意子空间$\mathcal{W}$，其中任意的$w\in \mathcal{W}$，有$\mathbf{I}(w)=w$，故$\mathcal{V}$的任意子空间$\mathcal{W}$是恒等算子$\mathbf{I}$下不变的子空间。

第7题解答

(a)题解答如下：

只需要证明$\mathbf{v}=\alpha {\mathbf{e}}_1+\beta {\mathbf{e}}_2$经过T之后仍然在R^4空间中即可
$$\mathbf{T}(\alpha {\mathbf{e}}_1+\beta {\mathbf{e}}_2)=\alpha \mathbf{T}{\mathbf{e}}_1+\beta \mathbf{T}{\mathbf{e}}_2$$

$$\begin{gathered} \mathbf{T}(1,0,0,0)=(1,0,0,0)=1\ast {\mathbf{e}}_1 \\ \mathbf{T}(0,1,0,0)=(1,1,0,0)=1\ast {\mathbf{e}}_1+1\ast {\mathbf{e}}_2 \end{gathered}$$

​ 由题目可知， X = span ⁡ { e 1 , e 2 } \mathcal{X}=\operatorname{span}\left\{e_1, e_2\right\} X=span{e1​,e2​}是${\mathbf{R}}^4$空间前两个单位向量张成的子空间，由$\mathbf{x}\in \mathcal{X}$可推得：对于$\alpha ,\beta \in \Re$，有$\mathbf{x}=(\alpha ,\beta ,0,0)$，故可得：
$$\mathbf{T}(\mathbf{x})=\mathbf{T}(\alpha ,\beta ,0,0)=(\alpha +\beta ,\beta ,0,0)\in \mathcal{X}$$
由上知，$\mathcal{X}$ is invariant under $\mathbf{T}$.

(b)题解答如下：

​ 经过基变换很容易得到 [ T / X ] { e 1 , e 2 } = ( 1 1 0 1 ) \left[\mathbf{T}_{/ \mathcal{X}}\right]_{\left\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2\right\}}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right) [T/X​]{e1​,e2​}​=(10​11​)

©题解答如下：

​ 由题得$\mathbf{T}\left(x_1,x_2,x_3,x_4\right)=\left(x_1+x_2+2x_3-x_4,x_2+x_4,2x_3-x_4,x_3+x_4\right)$，而$\mathcal{B}$是由$e_1$,$e_2$所得，故可得：
$$\begin{array}{rl}& \mathbf{T}\left(e_1\right)=\mathbf{T}(1,0,0,0)=(1,0,0,0)\\ & \mathbf{T}\left(e_2\right)=\mathbf{T}(0,1,0,0)=(1,1,0,0)\end{array}$$
​ 设 B = { e 1 , e 2 , e 3 , e 4 } \mathcal{B}=\left\{e_1, e_2, e_3, e_4\right\} B={e1​,e2​,e3​,e4​}是${\mathbf{R}}^4$的标准基，因为 X = span ⁡ { e 1 , e 2 } \mathcal{X}=\operatorname{span}\left\{e_1, e_2\right\} X=span{e1​,e2​}是${\mathbf{R}}^4$空间前两个单位向量张成的子空间，由前面计算可知，$\mathbf{T}(e_1)$和$\mathbf{T}(e_2)$在前两个坐标上有值，根据线性变换在基下矩阵的表示，$[\mathbf{T}{]}_{\mathcal{B}}$的前两列是由$\mathbf{T}(e_1)$和$\mathbf{T}(e_2)$在基$\mathcal{B}$下的坐标构成的，故可得：
$$[\mathbf{T}{]}_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& \ast & \ast \\ 0& 1& \ast & \ast \\ 0& 0& \ast & \ast \\ 0& 0& \ast & \ast \end{array}\right)$$