矩阵求逆的几种方式

矩阵求逆的几种方式（以二阶为例）

矩阵求逆的方法有多种，以下是常用的几种方式总结：

1. 行列式公式法

这是最常见的方法，适用于$2\times 2$矩阵。
对于矩阵：
$$\Phi =\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],$$
其逆矩阵为：
$${\Phi }^{-1}=\frac{1}{\text{det}(\Phi )}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right],$$
前提是行列式$\text{det}(\Phi )=ad-bc\ne 0$。

2. 伴随矩阵法

适用于任意$n\times n$矩阵，特别是在符号化计算中常用。
步骤：

1. 计算矩阵的代数余子式，构造伴随矩阵$\text{adj}(\Phi )$。
2. 使用公式：
   $${\Phi }^{-1}=\frac{1}{\text{det}(\Phi )}\cdot \text{adj}(\Phi ).$$
   对于$2\times 2$矩阵：
   $$\text{adj}(\Phi )=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right].$$

以下是**$2\times 2$矩阵伴随矩阵**的推导过程：

2.1. 伴随矩阵定义

给定矩阵：
$$\Phi =\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],$$
伴随矩阵$\text{adj}(\Phi )$是$\Phi$的代数余子式矩阵的转置。

2.2. 求代数余子式

代数余子式$A_{ij}$定义为：
$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}\cdot M_{ij},$$
其中$M_{ij}$是去掉矩阵$\Phi$第$i$行、第$j$列后得到的余矩阵的行列式。

对于$2\times 2$矩阵$\Phi$，每个代数余子式计算如下：

1. 计算$A_{11}$：
   $$A_{11}=(-1{)}^{1+1}\cdot \text{det}\left[\begin{array}{c}d\end{array}\right]=1\cdot d=d.$$

2. 计算$A_{12}$：
   $$A_{12}=(-1{)}^{1+2}\cdot \text{det}\left[\begin{array}{c}c\end{array}\right]=-1\cdot c=-c.$$

3. 计算$A_{21}$：
   $$A_{21}=(-1{)}^{2+1}\cdot \text{det}\left[\begin{array}{c}b\end{array}\right]=-1\cdot b=-b.$$

4. 计算$A_{22}$：
   $$A_{22}=(-1{)}^{2+2}\cdot \text{det}\left[\begin{array}{c}a\end{array}\right]=1\cdot a=a.$$

2.3. 构造代数余子式矩阵

将上述代数余子式按原矩阵$\Phi$的顺序排列，得到代数余子式矩阵：
$$\text{代数余子式矩阵}=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}d& -c\\ -b& a\end{array}\right].$$

2.4. 求伴随矩阵

伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置：
$$\text{adj}(\Phi )={\left[\begin{array}{cc}d& -c\\ -b& a\end{array}\right]}^T=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right].$$

因此对于$2\times 2$矩阵：
$$\Phi =\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],$$
其伴随矩阵为：
$$\text{adj}(\Phi )=\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right].$$

3. 初等行变换法（高斯-约旦消元法）

通过将矩阵扩展为一个分块矩阵：
$$[\Phi |I],$$
然后对左边矩阵执行初等行变换，直到其变成单位矩阵$I$，右侧的矩阵就是逆矩阵${\Phi }^{-1}$。
以下是利用高斯-约旦消元法求矩阵逆矩阵的详细步骤（以$2\times 2$矩阵为例）：

3.1. 问题描述

给定一个$2\times 2$矩阵：
$$\Phi =\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],$$
目标是通过初等行变换计算其逆矩阵${\Phi }^{-1}$。

3.2. 扩展增广矩阵

将$\Phi$扩展为增广矩阵：
$$[\Phi |I]=\left[\begin{array}{cccc}a& b& 1& 0\\ c& d& 0& 1\end{array}\right].$$

目标是通过行变换将左侧矩阵变成单位矩阵$I$，右侧变成逆矩阵${\Phi }^{-1}$。

3.3 高斯-约旦消元法步骤

步骤 1：将$[1,1]$位置元素变为1（主元化）

通过行变换使$a$变为1。若$a\ne 0$，直接将第1行除以$a$：
$$R_1\to \frac{R_1}{a},$$
增广矩阵变为：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& \frac{b}{a}& \frac{1}{a}& 0\\ c& d& 0& 1\end{array}\right].$$

步骤 2：消去第2行的第1列元素

将第2行的第1列元素$c$消为0：
$$R_2\to R_2-c\cdot R_1,$$
增广矩阵变为：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& \frac{b}{a}& \frac{1}{a}& 0\\ 0& d-\frac{bc}{a}& -\frac{c}{a}& 1\end{array}\right].$$

步骤 3：将$[2,2]$位置元素变为1（主元化）

通过行变换使$d-\frac{bc}{a}$变为1。若$d-\frac{bc}{a}\ne 0$，将第2行除以该值：
$$R_2\to \frac{R_2}{d-\frac{bc}{a}},$$
增广矩阵变为：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& \frac{b}{a}& \frac{1}{a}& 0\\ 0& 1& \frac{-c}{a(d-\frac{bc}{a})}& \frac{1}{d-\frac{bc}{a}}\end{array}\right].$$

步骤 4：消去第1行的第2列元素

将第1行的第2列元素$\frac{b}{a}$消为0：
$$R_1\to R_1-\frac{b}{a}\cdot R_2,$$
增广矩阵变为：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \frac{d}{\text{det}(\Phi )}& \frac{-b}{\text{det}(\Phi )}\\ 0& 1& \frac{-c}{\text{det}(\Phi )}& \frac{a}{\text{det}(\Phi )}\end{array}\right],$$
其中$\text{det}(\Phi )=ad-bc$。

最终，左侧已变成单位矩阵$I$，右侧即为逆矩阵${\Phi }^{-1}$：
$${\Phi }^{-1}=\frac{1}{\text{det}(\Phi )}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right],$$
前提是$\text{det}(\Phi )\ne 0$。

4. 数值计算法（如LU分解法）

对于数值计算，通过矩阵分解技术（如LU分解）来求解逆矩阵：

1. 将矩阵分解为$\Phi =LU$的形式；
2. 分别解两个三角方程，最终获得逆矩阵。
   此方法更适合大规模矩阵的计算，但对于$2\times 2$矩阵意义有限。

以下是利用LU分解法求逆矩阵的详细步骤：

4.1. 问题描述

给定一个$2\times 2$矩阵：
$$\Phi =\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$$

目标是通过LU分解计算其逆矩阵${\Phi }^{-1}$。

4.2. LU分解概念

LU分解将矩阵$\Phi$分解为下列形式：
$$\Phi =LU,$$
其中：

• $L$为下三角矩阵，主对角线元素为1；
• $U$为上三角矩阵。

对于$2\times 2$矩阵，分解过程如下：
$$L=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ l_{21}& 1\end{array}\right],U=\left[\begin{array}{cc}{u}_{11}& u_{12}\\ 0& u_{22}\end{array}\right].$$

4.3. LU分解步骤

步骤 1：初始化

假设$\Phi =LU$，则有：
$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ l_{21}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{u}_{11}& u_{12}\\ 0& u_{22}\end{array}\right].$$
通过矩阵乘法，得到：
$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{u}_{11}& u_{12}\\ l_{21}{u}_{11}& l_{21}{u}_{12}+u_{22}\end{array}\right].$$

步骤 2：逐元素比较，确定$L$和$U$的元素

1. 比较$[1,1]$位置元素：
   $$u_{11}=a.$$
2. 比较$[1,2]$位置元素：
   $$u_{12}=b.$$
3. 比较$[2,1]$位置元素：
   $$l_{21}=\frac{c}{u_{11}}=\frac{c}{a}.$$
4. 比较$[2,2]$位置元素：
   $$u_{22}=d-l_{21}{u}_{12}=d-\frac{c}{a}\cdot b.$$

最终得到：
$$L=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{c}{a}& 1\end{array}\right],U=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d-\frac{bc}{a}\end{array}\right].$$

4. 求逆矩阵${\Phi }^{-1}$

LU分解完成后，通过分块求逆的方式得到结果。

步骤 1：解$LY=I$（前向替代）

将${\Phi }^{-1}$分为两部分：
$$LY=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ \frac{c}{a}& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{y}_{11}& y_{12}\\ y_{21}& y_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$$
逐行解得：

1. 第1行：
   $$y_{11}=1,y_{12}=0.$$
2. 第2行：
   $$y_{21}=-\frac{c}{a},y_{22}=1.$$

因此：
$$Y=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{c}{a}& 1\end{array}\right].$$

步骤 2：解$UZ=Y$（后向替代）

$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d-\frac{bc}{a}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{z}_{11}& z_{12}\\ z_{21}& z_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{c}{a}& 1\end{array}\right].$$
逐行解得：

1. 第2行：
   $$z_{21}=\frac{-\frac{c}{a}}{d-\frac{bc}{a}}=\frac{-c}{ad-bc},z_{22}=\frac{1}{d-\frac{bc}{a}}=\frac{a}{ad-bc}.$$
2. 第1行：
   $$z_{11}=\frac{1-b\cdot z_{21}}{a}=\frac{d}{ad-bc},z_{12}=\frac{0-b\cdot z_{22}}{a}=\frac{-b}{ad-bc}.$$

最终得到：
$$Z=\left[\begin{array}{cc}\frac{d}{ad-bc}& \frac{-b}{ad-bc}\\ \frac{-c}{ad-bc}& \frac{a}{ad-bc}\end{array}\right].$$

因此，逆矩阵为：
$${\Phi }^{-1}=Z=\frac{1}{\text{det}(\Phi )}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right].$$

LU分解法通过矩阵分解简化了求解逆矩阵的过程，特别是对于高维矩阵，通过分解后的前向替代和后向替代显著提高了计算效率。

5. 符号化工具或计算机软件

如使用数学软件（Matlab、NumPy）直接调用内置函数：

• NumPy: np.linalg.inv(Phi)
• Matlab: inv(Phi)

这类方法内部可能实现了上述的数值算法，适合工程计算。

6. 定义验证法

利用逆矩阵的定义$\Phi {\Phi }^{-1}=I$，通过代数方程的形式验证或构造满足该条件的矩阵。
例如，对于简单的$2\times 2$矩阵，可以手动解联立方程组获得逆矩阵。

6.1. 问题描述

给定一个$2\times 2$矩阵：
$$\Phi =\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right],$$
我们要求矩阵$\Phi$的逆矩阵${\Phi }^{-1}$，并利用定义$\Phi {\Phi }^{-1}=I$来求解。

我们假设${\Phi }^{-1}$为：
$${\Phi }^{-1}=\left[\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right].$$

6.2. 利用矩阵乘法公式

根据定义$\Phi {\Phi }^{-1}=I$，我们可以写出方程：
$$\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$$

进行矩阵乘法，得到：
$$\left[\begin{array}{cc}ax+bz& ay+bw\\ cx+dz& cy+dw\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right].$$

6.3. 通过逐元素比较构造方程

从上面的等式中，我们得到以下4个方程：

1. 第一行第一列：
   $$ax+bz=1.$$

2. 第一行第二列：
   $$ay+bw=0.$$

3. 第二行第一列：
   $$cx+dz=0.$$

4. 第二行第二列：
   $$cy+dw=1.$$

这些方程构成了一个线性方程组，接下来我们解这个方程组。

6.4. 解联立方程组

为了得到$x,y,z,w$的值，我们可以按照以下步骤进行解算。

步骤 1：解第3个方程

从第3个方程：
$$cx+dz=0,$$
解得：
$$z=-\frac{c}{d}x.$$

步骤 2：代入第1个方程

将$z=-\frac{c}{d}x$代入第1个方程：
$$ax+b\left(-\frac{c}{d}x\right)=1,$$
得到：
$$ax-\frac{bc}{d}x=1.$$
提取$x$，得到：
$$x\left(a-\frac{bc}{d}\right)=1.$$
因此：
$$x=\frac{d}{ad-bc}.$$

步骤 3：解第4个方程

从第4个方程：
$$cy+dw=1,$$
解得：
$$w=\frac{1-cy}{d}.$$

步骤 4：代入第2个方程

将$w=\frac{1-cy}{d}$代入第2个方程：
$$ay+b\left(\frac{1-cy}{d}\right)=0,$$
得到：
$$ay+\frac{b(1-cy)}{d}=0,$$
整理后：
$$ay+\frac{b}{d}-\frac{bc}{d}y=0.$$
提取$y$，得到：
$$y\left(a-\frac{bc}{d}\right)=-\frac{b}{d}.$$
因此：
$$y=\frac{-b}{ad-bc}.$$

步骤 5：解$w$

将$y=\frac{-b}{ad-bc}$代入$w=\frac{1-cy}{d}$：
$$w=\frac{1-c\left(\frac{-b}{ad-bc}\right)}{d}=\frac{d}{ad-bc}.$$

#3## 6.5. 最终结果
通过以上步骤，我们得到了${\Phi }^{-1}$的各个元素：
$${\Phi }^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{d}{ad-bc}& \frac{-b}{ad-bc}\\ \frac{-c}{ad-bc}& \frac{a}{ad-bc}\end{array}\right].$$
利用逆矩阵的定义$\Phi {\Phi }^{-1}=I$，我们通过构造并解联立方程组的方法成功求得了$2\times 2$矩阵的逆矩阵。该方法虽然手动推导较为繁琐，但对于理解逆矩阵的性质和计算过程具有重要的理论意义。

7. 比较总结

方法	特点	适用场景
行列式公式法	直接计算，简单明了	小规模矩阵
伴随矩阵法	适用于符号化求解，但计算代数余子式较繁琐	手动推导或符号化运算
初等行变换法	理论基础强，操作灵活	理论学习与推导
数值计算法	效率高，适合大矩阵	工程计算与编程实现
符号化工具或函数	快捷简洁，依赖工具	实际工程问题求解
定义验证法	基础方法，计算量较大	理论验证与构造