【学习小结】线性基

menci的讲解
学习了Yveh的博客

发现了线性基的一些性质和用法

线性基合并

直接把另一个暴力插入。
可以判一下如果满了就不插入，剪枝很有作用

一定要满足从高位到低位贪心

struct Data{
	int a[32];
	bool flag;

	Data(){ memset(a,0,sizeof(a)); flag = 0; }
	Data operator + (Data z){
		Data res = z;
		if ( z.flag ) return res;
		if ( flag ) return *this;
		for (int i = 30 ; i >= 0 ; i--){
			int x = a[i];
			for (int j = 30 ; j >= 0 ; j--){
				if ( x >> j & 1 ){
					if ( !(res.a[j] >> j & 1) ){ res.a[j] = x; break; }
					x ^= res.a[j];
				}
			}
		}
		res.flag = 1;
		for (int i = 29 ; i >= 0 ; i--){
			res.flag &= (res.a[i] >> i) & 1;
			if ( res.a[30] >> i & 1 ){
				res.a[30] ^= res.a[i];
			}
		}
		return res;
	}
	void insert(int x){
		for (int j = 29 ; j >= 0 ; j--){
			if ( x >> j & 1 ){
				if ( !(a[j] >> j & 1) ){ a[j] = x; break; }
				x ^= a[j];
			}
		}
	}
};

线性基的性质

如果把线性基定义为所有元素一定是一个线性无关组

有如下性质
1.设线性基的异或集合中不存在00。
2.线性基的异或集合中每个元素的异或方案唯一，其实这个跟性质1是等价的。
3.线性基二进制最高位互不相同。
4.如果线性基是满的，它的异或集合为[1,2n−1][1,2n−1]。
5.线性基中元素互相异或，异或集合不变。

那么可以查询能够组合出来的数的最小值、k大值

k大值查询
线性基要维护成有主元的位，只有主元是1，没有主元的位显然不会影响答案
那么，直接贪心即可。选择第i个主元相当于排名上升2^i-1

一些技巧

hdu 6579 , 2019 Multi-University Training Contest 1 - B operation
求区间选一些数的抑或最大值。在后面动态加入，强制在线。要求复杂度$O(nlogn)$

不需要维护区间线性基，我们只需要贪心的维护，使得线性基高位的数的位置尽量靠右。这样高位更可能被选到
以前更早加入的数被重复的往下替换
相当于是时间戳线性基。（有点像维护连通性的时间最大生成树）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 5e5 + 20;

struct Data{
	int a[32],id[32];
	bool flag;

	Data(){ memset(a,0,sizeof(a)); memset(id,0,sizeof(id)); flag = 0; }
	void insert(int x,int curid){
		for (int j = 29 ; j >= 0 ; j--){
			if ( (x >> j) & 1 ){
				if ( !(a[j] >> j & 1) ) { a[j] = x , id[j] = curid; break; } 
				else if ( id[j] < curid ){
					swap(id[j],curid);
					swap(a[j],x);
				}
				x ^= a[j];
			}
		}
	}
	int query(int curid){
		int res = 0;
		for (int j = 29 ; j >= 0 ; j--){
			if ( !((res >> j) & 1) ){
				if ( id[j] >= curid ) res ^= a[j];
			}
		}
		return res;
	}
}base[maxn];
int n,m,a[maxn];

int main(){
	int cases;
	scanf("%d",&cases);
	while ( cases-- ){
		scanf("%d %d",&n,&m);
		for (int i = 1 ; i <= n ; i++) scanf("%d",&a[i]);
		for (int i = 1 ; i <= n ; i++){
			base[i] = base[i - 1];
			base[i].insert(a[i],i);
		}
		int lastans = 0;
		for (int i = 1 ; i <= m ; i++){
			int tp,l,r,x;
			scanf("%d",&tp);
			if (tp == 0 ){
				scanf("%d %d",&l,&r);
				l = (l ^ lastans) % n + 1 , r = (r ^ lastans) % n + 1;
				if ( l > r ) swap(l,r);
				lastans = base[r].query(l);
				printf("%d\n",lastans);
			}else{
				scanf("%d",&x);
				x = (x ^ lastans);
				n++;
				base[n] = base[n - 1];
				base[n].insert(x,n);
			}
		}
	}
}