线性基浅谈

最新推荐文章于 2022-07-09 08:09:37 发布

PH_2002

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分类专栏：模板数论文章标签：线性基数论

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本文深入探讨了线性基的基本概念与应用技巧，包括如何判断一个数是否属于线性基的张成、构建线性基的方法以及求解线性基能构造出的第k小数等问题，并介绍了一种时间戳线性基的实现方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

不知道最初是从哪个角度发现的

蒟蒻我最初是从玄学的线性代数与向量思想开始学的，然后因为不会高斯消元转入另一种。

其实对于线性基来说，只要搞懂一个关系式子: $axorb=c,c xor a=b,bxorc=a;$
也就是说，知二求一。那么将一堆数合成一个线性基，应用的也是这个道理;

线性基长什么样

就是一个一维数组， $a[i]$ 等于的数满足该数二进制表示下，最高有一的那一位为i；比如 $a[3]=(110)_2$

下面具体讲操作

给你一个线性基，给你一个数，问这个数是否属于该线性基的张成。

最简单的想法：2^n枚举;但这显然过于暴力。

这样想：如果属于，那么用线性基异或出来的数异或这个数等于0。我们只要让这个数去异或线性基中的数，使它竭力靠近零。

如何竭力靠近0？

举个例子：一个数为 $(1011001101)_2$ ,然后发现了第十位为一。最终结果第十位不为1，肯定要异或掉就拿 $a[10]$ 来异或。这样就对10位以上的更高位保持为0没有影响.然后再看第九位.

唯一值得注意的，本身是零要特判。
给你一堆数构造他们的线性基。

这一个操作实际上结合了定义之后就变得简单。只要你加入的这一个数有一的最高位在原线性基中还没有出现，直接赋值即可。如果出现了，那么就与这一位异或一下。

讲的可能不太清楚，上一份代码就懂了
for(int i=1;i<=n;i++) { 　　for(int j=62;j>=0;j--) { 　　if(!(a[i]>>j)) continue;//对线性基的这一位没有贡献　　　　 if(!p[j]) { p[j]=a[i]; break; }//选入线性基中　　　　　　 a[i]^=p[j]; 　　　　 } 　　　}
给你一个线性基要你求能构造出来的第k小

这一个的做法其实有点利用二进制思想。如果现在有 $(1)_2,(10)_2,(100)_2,(1000)_2,(10000)_2,(100000)_2....$ 这些数，要你构造他们异或和的第k大，你可能会觉得这太容易了。这是什么原理呢？？掘其本质，你会发现他们无论怎么异或，原有位置上的1永远不会异或变成零，这又是由于如果他们有一位为一，其它数这个位上绝对不为一。如果我们的线性基有这一个性质就好了。也就是说，按定义 $a[i]$ 表示有一的最高位是 $i$ ，那如果其余的任意 $a[k],k>i$ 的第i位都为0，那就满足了 $a[i]$ 最高位上的i怎么也不会异或成零。

现在最重要的一点是如何构造？假设现在这个线性基已经构造好了，由于对于 $a[i],a[k],i>k$ , $a[k]$ 显然不会影响 $a[i]$ 只要扫两遍就行了

上个代码
```
il void rebuild(){
   for (RG ll i=62;i>=0;--i)
   for (RG ll j=i-1;j>=0;--j)
       if (p[i]>>j&1) p[i]^=p[j];
   for (RG ll i=0;i<=62;++i) if (p[i]) [cnt++]=p[i];
  return;
}

il ll query_kth(RG ll k){
     if (k>=(1LL<<cnt)) return -1; RG ll    res=0;     for (RG ll i=62;i>=0;--i)
   if (k>>i&1) res^=d[i];
  return res;
}
```
最后讲一讲个人搞出来的时间戳线性基。

如果有 $n$ 个数 $(a_1,a_2,a_3,a_4,.....,a_n)$ 依次加入线性基，在加入过程中，不断询问，区间 $[l,r]$ 的数能异或出来的最大的数是多少。遮盖怎么做？

这就需要再次仔细研究线性基的性质。这次我们要考虑加入的时间。现在加入 $a,b,c,d,e$ 五个数，加入到d时，询问 $b,c,d$ 能够异或的最大数是多少。

这时就显然不能考虑 $a$ 的影响。在这里还要插入一个小技巧，就是把询问区间按左端点与右端点排序。这样你的询问就是有序的了(嗯，这个方法真的常用)。

我们这样做后显然要使得
- 排除线性基中所有被 $a$ 影响了的数
- 剩下的这些数中是 $b,c,d$ 的线性基
- 我们的任务是这两点。乍一看，不可能实现，实际上由于加入是一个不可逆的过程，我们无法用线性基去删除一个元素，而询问区间是有序的，对每一个线性基中的数打上一个时间戳就显得尤为重要。
  
  我们不妨设线性基中的每一个数都有一个时间戳 $d$ 这个 $d$ 代表的意义是:影响该位的最小位置为
  有了这个时间戳后,被小位置更新过的一定不包含被大位置更新过。
  每次加入一个数后，直接处理以该数位置为右端点的所有询问。
  详细见代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline char gc(){
    static char buf[1<<6],*p1=buf,*p2=buf;
    return (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<6,stdin),p1==p2))?EOF:*p1++;
}
template <class T>
inline void read(T&data){
    register char ch=0;
    data=0;
    while(ch<'0'||ch>'9')ch=gc();
    while(ch<='9'&&ch>='0'){
        data=(data<<3)+(data<<1)+(ch^48);
        ch=gc();
    }
    return ;
}
const int _ (1e6+5);
int n,Time[_],L[_],head[_],nt[_],a[_],poww[_],Xor[32],ans[_],m;
int main(){
    freopen("e.in","r",stdin);
    read(n);
    read(m);
    for(register int i=1;i<=n;++i){
        read(a[i]);
    }
    for(register int i=1,R;i<=m;++i){
        read(L[i]);
        read(R);

        nt[i]=head[R],head[R]=i;
    }


    for(register int i=1;i<=4;++i){
        register int I=i;
        for(register int j=30;~j;--j){

            if((1<<j)&a[i]){
                if(!Xor[j]){
                    Xor[j]=a[i];
                    Time[j]=I;
                    break;
                }
                if(Time[j]<I){
                    swap(Time[j],I);
                    swap(Xor[j],a[i]);

                }
                a[i]^=Xor[j];
            }
        }
        for(register int j=head[i];j;j=nt[j]){

            for(register int k=30;~k;--k){
                if(Time[k]>=L[j])ans[j]=max(ans[j],ans[j]^Xor[k]);
            }
        }
    }
    for(register int i=1;i<=m;++i){
        cout<<ans[i]<<endl;
    }

}