4、线性代数中的矩阵求解方法深度解析

线性代数中的矩阵求解方法深度解析

在解决线性代数问题时，我们常常会遇到矩阵求解的难题。当矩阵规模庞大或具有稀疏性时，传统的直接求解方法可能会面临效率和内存的双重挑战。本文将深入探讨一些有效的迭代求解方法，包括它们的原理、应用场景以及优缺点。

1. 分块算法与高斯消元法

分块算法在矩阵运算中展现出了显著的优势。在某些情况下，分块算法每进行一次内存访问可执行 $\frac{3}{2}b$ 次浮点运算。从理论公式来看，似乎块大小 $b$ 应尽可能大，但这是在假设缓存能存储 $3b^2$ 个浮点数的前提下得出的，该假设为 $b$ 设定了上限。

通过对 LAPACK 例程 dgesv 的测试，我们可以更直观地看到分块算法的性能表现。表 1 展示了在不同块大小 $b$ 和矩阵阶数 $n$ 下，dgesv 的执行时间和速度。

矩阵阶数 $n$	块大小 $b$	时间 (s)	速度 (Mflop/s)
500	1	0.27	308
500	2	0.18	463
500	4	0.13	6