15、网络成本分摊博弈中的最优情况与强纳什均衡

网络成本分摊博弈中的最优情况与强纳什均衡

在博弈论中，网络成本分摊博弈是一类重要的模型，它与原子自私路由博弈有相似之处，但具有正外部性。本文将详细介绍网络成本分摊博弈的相关概念、模型，并探讨两种关注“合理”纯纳什均衡（PNE）子集的方法。

1. 网络成本分摊博弈

1.1 外部性

在博弈中，外部性是指一个参与者的个体目标函数值与其对社会目标函数值的贡献之间的差异。之前研究的模型大多具有负外部性，即参与者没有充分考虑他们所造成的损害。例如，在路由博弈中，一个参与者不会考虑其存在给使用其路径中边的其他参与者带来的额外成本。

然而，也存在具有正外部性的重要应用。比如加入校园组织或社交网络，个人能从中获得好处，同时也丰富了同一群体中其他人的体验。在具有负外部性的博弈中，参与者通常不希望有新参与者加入；而在具有正外部性的博弈中，参与者则欢迎新参与者的到来。

1.2 模型

网络成本分摊博弈在图 (G = (V, E)) 中进行，图可以是有向图或无向图，每条边 (e \in E) 都有一个固定成本 (\gamma_e \geq 0)。假设有 (k) 个参与者，参与者 (i) 有一个起始顶点 (o_i \in V) 和一个目标顶点 (d_i \in V)，其策略集是图中从 (o_i) 到 (d_i) 的路径集合。博弈的结果对应于路径向量 (P = (P_1, \ldots, P_k))，意味着子网络 ((V, \cup_{i = 1}^{k}P_i)) 被形成。

可以将 (\gamma_e) 看作是构建边 (e) 的成本，例如在一个社区铺设高速互联网光纤的成本，这个成本与使用该边的参与者数量无关。参与者的成本是按边定义的，类似于路由博弈。如果多个参与者在他们选择的路径中使用了边 (e)，则他们共同承担该边的固定成本 (\gamma_e)，并且假设他们平均分摊。

在成本最小化博弈的语言中，参与者 (i) 在结果 (P) 中的成本 (C_i(P)) 为：
[C_i(P) = \sum_{e \in P_i} \frac{\gamma_e}{f_e}]
其中 (f_e = |{j : e \in P_j}|) 表示选择包含边 (e) 的路径的参与者数量。目标函数是最小化形成的网络的总成本：
[cost(P) = \sum_{e \in E : f_e \geq 1} \gamma_e]
类似于路由博弈中的目标函数，该函数也可以写成参与者成本之和 (\sum_{i = 1}^{k} C_i(P))。

1.3 示例：VHS 或 Betamax

通过一个简单的网络示例来理解网络成本分摊博弈。假设有 (k) 个参与者，他们有共同的起始点 (o) 和目标点 (d)。这个例子可以看作是在两种竞争技术之间的选择。在 20 世纪 80 年代，有两种新的家庭电影租赁技术，Betamax 被技术爱好者认为是更好的技术，对应于图中成本较低的边；而 VHS 则早期占据了更大的市场份额。最终，由于消费者更倾向于协调使用同一种技术，Betamax 被淘汰。

在这个网络中，最优结果是所有参与者都选择上边，总成本为 (1 + \epsilon)，这也是一个 PNE。然而，还存在另一个 PNE，即所有参与者都选择下边。由于成本 (k) 被平均分摊，每个参与者支付 1。如果一个参与者单方面偏离到上边，她将支付该边的全部成本 (1 + \epsilon)，从而承担更高的成本。这个例子表明，网络成本分摊博弈中的价格无政府状态（POA）可以高达参与者的数量 (k)。

结果	总成本	每个参与者成本	是否为 PNE
所有参与者选上边	(1 + \epsilon)	(1 + \epsilon)	是
所有参与者选下边	(k)	1	是

1.4 示例：退出选择

考虑另一个网络成本分摊博弈，(k) 个参与者有不同的起始点 (o_1, \ldots, o_k) 但有共同的目标点 (d)。他们可以选择在会合点 (v) 会合，然后一起前往 (d)，共同承担成本 (1 + \epsilon)；也可以选择“退出”，即独自走直接从 (o_i) 到 (d) 的路径，参与者 (i) 选择退出策略的成本为 (1/i)。

最优结果是所有参与者都通过会合点，成本为 (1 + \epsilon)。但这不是一个 PNE，因为参与者 (k) 选择退出策略可以支付略少的成本，这对她来说是一个占优策略。由于参与者 (k) 在 PNE 中不使用会合点，参与者 (k - 1) 也不会使用，因为在参与者 (k) 缺席的情况下，她使用会合点至少要支付 ((1 + \epsilon)/(k - 1))，而退出策略更便宜。通过迭代这个论点，不存在任何参与者通过 (v) 的 PNE。而所有参与者都选择退出的结果是一个 PNE，其成本是第 (k) 个调和数 (\sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{i})，记为 (H_k)，该数介于 (\ln k) 和 (\ln k + 1) 之间。

在这个例子中，当 (\epsilon) 趋于 0 时，POA 接近 (H_k)。与 VHS 或 Betamax 例子不同，这种低效率不是由于多个或不合理的均衡导致的。

2. 稳定性价格

由于不同的 PNE 可能具有截然不同的成本，并且 POA 可能高达参与者的数量 (k)，因此我们希望找到一种方法来关注“合理”的 PNE 子集。稳定性价格是 POA 的“乐观”版本，定义为最佳均衡成本与最优结果成本的比率。

定理表明，在每个具有 (k) 个参与者的网络成本分摊博弈中，存在一个 PNE，其成本至多是最优结果成本的 (H_k) 倍。这意味着每个网络成本分摊博弈至少拥有一个 PNE，并且 opt-out 例子表明，定理中的 (H_k) 因子不能被更小的因子替代。

证明过程利用了一个势函数 (\Phi(P))：
[\Phi(P) = \sum_{e \in E} \sum_{i = 1}^{f_e} \frac{\gamma_e}{i} = \sum_{e \in E} \gamma_e \sum_{i = 1}^{f_e} \frac{1}{i}]
可以证明，使这个势函数最小化的结果是一个 PNE。虽然势函数的最小化者不一定是最佳 PNE，但可以证明其成本至多是最优结果成本的 (H_k) 倍。

具体来说，对于每个 (f_e \geq 1) 的边 (e)，有 (\gamma_e \leq \gamma_e \sum_{i = 1}^{f_e} \frac{1}{i} \leq \gamma_e \cdot H_k)，对所有这样的边求和可得：
[cost(P) \leq \Phi(P) \leq H_k \cdot cost(P)]
设 (P) 是使势函数 (\Phi(P)) 最小化的 PNE，(P^ ) 是最优结果，则有：
[cost(P) \leq \Phi(P) \leq \Phi(P^ ) \leq H_k \cdot cost(P^*)]

稳定性价格的界只保证了一个均衡近似最优，提供的保证比 POA 的界弱。它适用于存在第三方可以提出初始结果的博弈，例如在选择软件或网络协议的用户定义参数的默认值时，一种合理的方法是设置默认参数，使用户没有动机改变它们，并在此前提下优化性能。

3. 强纳什均衡的 POA

为了避免像 VHS 或 Betamax 例子中的不良 PNE，并证明网络成本分摊博弈中均衡低效率的有意义界，我们可以关注 PNE 的一个有充分动机的子集——强纳什均衡。

3.1 强纳什均衡的定义

设 (s) 是一个成本最小化博弈的结果：
- 策略 (s’ A \in \prod {i \in A} S_i) 是参与者子集 (A) 的有益偏离，如果对于每个参与者 (i \in A)，有 (C_i(s’ A, s {-A}) \leq C_i(s))，并且至少有一个参与者的不等式严格成立。
- 结果 (s) 是一个强纳什均衡，如果没有参与者联盟有有益偏离。

每个强纳什均衡都是一个 PNE，因为单元素联盟的有益偏离对应于改善的单方面偏离。可以合理地认为，强纳什均衡比其他 PNE 更有可能出现。

3.2 示例分析

回到之前的两个例子，在 VHS 或 Betamax 例子中，高成本的 PNE 不是强纳什均衡，因为如果两个参与者联合偏离到上边，每个偏离的参与者只需支付约 (\frac{1}{2})，这对他们来说是一个有利可图的偏离。而低成本的 PNE 是强纳什均衡。

在 opt-out 例子中，所有参与者都选择退出的结果不仅是唯一的 PNE，也是一个强纳什均衡，其成本接近最优结果成本的 (H_k) 倍。

3.3 定理及证明

定理表明，在每个具有 (k) 个参与者的网络成本分摊博弈中，每个强纳什均衡的成本至多是最优结果成本的 (H_k) 倍。

证明过程如下：
1. 固定一个网络成本分摊博弈和一个强纳什均衡 (P)。首先考虑所有 (k) 个参与者的最强大联盟 (A_k = {1, 2, \ldots, k})，为什么这个联盟不集体切换到最优结果 (P^ ) 呢？必然存在某个参与者 (i)，使得 (C_i(P) \leq C_i(P^ ))，将这个参与者重命名为参与者 (k)。
2. 为了得到每个参与者的均衡成本的上界，接下来考虑排除参与者 (k) 的联盟 (A_{k - 1} = {1, 2, \ldots, k - 1})，为什么这些 (k - 1) 个参与者不集体偏离到 (P^ {A {k - 1}}) 呢？必然存在一个参与者 (i \in {1, 2, \ldots, k - 1})，使得 (C_i(P) \leq C_i(P^ {A {k - 1}}, P_k))，将这个参与者重命名为参与者 (k - 1)，并继续这个过程。
3. 通过迭代这个论点，可以得到参与者的重命名 ({1, 2, \ldots, k})，使得对于每个 (i)，有 (C_i(P) \leq C_i(P^ {A_i}, P {-A_i}))，其中 (A_i = {1, 2, \ldots, i})。
4. 对所有参与者求和可得：
[cost(P) = \sum_{i = 1}^{k} C_i(P) \leq \sum_{i = 1}^{k} C_i(P^ {A_i}, P {-A_i}) \leq \sum_{i = 1}^{k} C_i(P^ _{A_i})]
5. 利用势函数 (\Phi)，设 (f^i_e) 表示 (A_i) 中使用包含边 (e) 的路径的参与者数量，则有 (C_i(P^ {A_i}) = \sum {e \in P^ _i} \frac{\gamma_e}{f^i_e} = \Phi(P^ {A_i}) - \Phi(P^ {A {i - 1}}))。
6. 结合上述式子可得：
[cost(P) \leq \sum_{i = 1}^{k} [\Phi(P^ {A_i}) - \Phi(P^ {A {i - 1}})] = \Phi(P^ ) \leq H_k \cdot cost(P^*)]

强纳什均衡的 POA 界与稳定性价格的界不同，它对每个强纳什均衡都成立。但不幸的是，在网络成本分摊博弈中，强纳什均衡不一定存在。

下面是强纳什均衡证明过程的 mermaid 流程图：

graph TD
    A[固定博弈和强纳什均衡 P] --> B[考虑联盟 Ak]
    B --> C{是否切换到 P*}
    C -- 否 --> D[存在 i 使 Ci(P) ≤ Ci(P*), 重命名为 k]
    D --> E[考虑联盟 Ak - 1]
    E --> F{是否偏离到 P*Ak - 1}
    F -- 否 --> G[存在 i 使 Ci(P) ≤ Ci(P*Ak - 1, Pk), 重命名为 k - 1]
    G --> H[迭代得到重命名]
    H --> I[求和得到 cost(P) 不等式]
    I --> J[利用势函数化简]
    J --> K[得出 cost(P) ≤ Hk · cost(P*)]
    C -- 是 --> L[不符合强纳什均衡定义]
    F -- 是 --> M[不符合强纳什均衡定义]

综上所述，网络成本分摊博弈中不同的 PNE 可能具有截然不同的成本，POA 可能很高，这促使我们关注 PNE 的子集。稳定性价格和强纳什均衡的 POA 为我们提供了两种不同的方法来分析这些博弈中均衡的效率。虽然强纳什均衡不一定存在，但在其存在的情况下，它能提供更有意义的低效率界。未来的研究可以进一步探索如何在实际应用中更好地利用这些概念，以及如何寻找具有强纳什均衡的网络成本分摊博弈的条件。

网络成本分摊博弈中的最优情况与强纳什均衡

4. 相关练习与问题探讨

4.1 练习题分析

以下是对文中给出的练习题的详细分析：
| 练习题编号 | 题目描述 | 分析思路 |
| ---- | ---- | ---- |
| 15.1 | 证明在每个网络成本分摊博弈中，PNE 的 POA 至多为参与者数量 (k)。 | 可通过分析不同 PNE 下的成本情况，结合 POA 的定义进行证明，需考虑极端情况以确定上界。 |
| 15.2 | 若修改 opt - out 示例，使所有边无向，每个参与者可双向选择路径，求所得网络成本分摊博弈的稳定性价格。 | 重新分析无向边情况下的最优结果和 PNE，根据稳定性价格的定义计算。 |
| 15.3 | 证明在所有参与者有共同起始顶点和共同目标顶点的网络成本分摊博弈中，强纳什均衡与最小成本结果一一对应。 | 分别证明强纳什均衡是最小成本结果，以及最小成本结果是强纳什均衡。 |
| 15.4 | 证明图 15.4 所示的网络成本分摊博弈没有强纳什均衡。 | 假设存在强纳什均衡，然后通过分析各种可能的联盟偏离情况，得出矛盾。 |
| 15.5 | 扩展网络成本分摊博弈模型，允许边成本依赖于使用边的参与者数量，且成本函数为凹函数，扩展定理 15.1 和 15.3 到该更一般的模型。 | 参考原定理的证明思路，结合凹函数的性质，对势函数和均衡条件进行相应调整。 |
| 15.6 | 对于边成本函数为 (\gamma_e(x) = a_e x^p)（(p \in (0, 1])）的特殊情况，将定理 15.1 和 15.3 中的 (H_k) 上界改进为 (\frac{1}{p})。 | 利用该特殊成本函数的性质，重新推导势函数和成本关系，得出更优的上界。 |

4.2 问题解答

• 问题 15.1
  • (a) 部分 ：构造一个网络成本分摊博弈，使得势函数 (15.3) 的最小化者不是最低成本的 PNE。可以设计一个网络，其中存在多个 PNE，通过调整边的成本和参与者的路径选择，使得势函数最小化的 PNE 成本不是最低的。
  • (b) 部分 ：构造一个至少有一个强纳什均衡的网络成本分摊博弈，使得势函数的最小化者不是强纳什均衡。同样通过设计合适的网络结构和成本，使势函数最小化的结果不满足强纳什均衡的定义。
• 问题 15.2 ：当弱化强纳什均衡的定义，只要求至多 (\ell) 个参与者的联盟没有有益偏离时，求网络成本分摊博弈中 (\ell) - 强纳什均衡的最坏情况 POA。可以通过分析不同 (\ell) 和 (k) 的取值，构造极端情况来确定上界和下界。
• 问题 15.3 ：证明在每个原子自私路由网络中，边成本函数为非负系数且度数至多为 (p) 的多项式时，稳定性价格至多为 (p + 1)。可参考网络成本分摊博弈中稳定性价格的证明方法，结合多项式成本函数的性质进行推导。

5. 总结与展望

网络成本分摊博弈是一类具有重要实际意义的博弈模型，其正外部性使得不同的 PNE 可能具有显著不同的成本，导致 POA 可能很高。为了更准确地分析这些博弈中均衡的效率，我们引入了稳定性价格和强纳什均衡的 POA 这两个概念。

稳定性价格关注的是存在一个近似最优的 PNE，它适用于有第三方可以提出初始结果的情况，为实际应用中参数的默认设置提供了理论依据。而强纳什均衡的 POA 则通过限制联盟的偏离，排除了一些不合理的 PNE，在其存在的情况下能提供更有意义的低效率界。

然而，目前的研究还存在一些局限性。例如，强纳什均衡不一定存在，这限制了其在某些情况下的应用。未来的研究可以从以下几个方面展开：
- 寻找强纳什均衡存在的条件 ：通过理论分析和算法设计，探索在何种网络结构和成本函数下，网络成本分摊博弈一定存在强纳什均衡。
- 实际应用中的优化 ：研究如何在实际的网络设计、资源分配等问题中更好地利用稳定性价格和强纳什均衡的概念，提高系统的效率和稳定性。
- 模型的进一步扩展 ：考虑更复杂的网络结构和成本函数，如动态网络、随机成本等，扩展现有理论的适用范围。

下面是未来研究方向的 mermaid 流程图：

graph LR
    A[寻找强纳什均衡存在条件] --> B[理论分析]
    A --> C[算法设计]
    D[实际应用中的优化] --> E[网络设计]
    D --> F[资源分配]
    G[模型的进一步扩展] --> H[动态网络]
    G --> I[随机成本]

总之，网络成本分摊博弈的研究为我们理解和解决实际中的网络协调问题提供了有力的工具，未来的研究有望进一步完善这些理论，并推动其在更多领域的应用。