75、常轮并发零知识证明的模拟器分析

常轮并发零知识证明的模拟器分析

在并发零知识证明领域，模拟器的正确性证明至关重要。我们需要证明模拟器的输出分布正确，并且其期望运行时间是有界的。下面将详细分析相关内容。

1. 模拟器永不失败

我们要证明对于任意 $x \in L$，$S_{V^*}(x, z)$ 永远不会输出 “fail”。

$S_{V^ }(x, z)$ 仅在 $SOLVE_{V^ }^d (x, 0, \cdots)$ 输出 “fail” 时才会输出 “fail”。而 $SOLVE$ 在递归级别 $\ell$ 输出 “fail”，仅当它到达在该级别开始的未解决执行的第 2 阶段（即 $SOLVE$ 的步骤 3）。

在递归级别 $\ell$，最多有 $(r - 1)^{d - \ell}$ 个执行被打开。对于所有在级别 $\ell$ 开始并完成 $r - 1$ 个槽的执行，存在某个槽，其中打开的执行少于 $(r - 1)^{d - (\ell + 1)}$ 个。$SOLVE$ 必须完全回退该槽，即执行步骤 5.d 以获得 $m$ 个良好视图，而不返回较低的递归级别。

假设 $SOLVE$ 在回退某个特定槽后未能提取见证。设级别 $\ell$ 和执行 $i$ 的槽 $j$ 是首次发生这种情况的地方。这意味着在步骤 5.d 结束时，获得了 $m$ 个良好视图，但没有一个包含槽 $j$ 的第二个转录。而且，在每个这样的视图中，$SOLVE$ 仅在级别 $\ell$ 开始的未解决执行上卡住。

对于 $SOLVE$ 卡住的每个执行 $i’$，最后一个槽的打开和关闭都发生在槽 $(i, j)$ 的回退过程中。否则，$SOLVE$ 会回退在槽