29、线性规划中的正则化与矩阵修正及优化中的收敛条件

线性规划中的正则化与矩阵修正及优化中的收敛条件

线性规划相关内容

在解决线性规划问题时，常常会遇到各种复杂情况，如数据近似、问题不恰当等。下面将介绍一些针对这些问题的研究成果。

问题研究概述

研究致力于解决问题R，包括证明解存在的充要条件、将问题转化为数学规划的辅助问题、给出构造性公式以及进行计算实验。该研究延续了此前关于Tikhonov求解近似线性代数方程组的方法，以及矩阵修正和不恰当线性规划正则化的研究。

数学工具

• 逆线性规划问题C1
  • 问题描述 ：给定向量$x, c \in R^n$，$u, b \in R^m$，其中$x, u \neq 0$且$x \geq 0$，寻找一个具有最小欧几里得范数的矩阵$A \in R^{m\times n}$，使得$x \in X_{opt}(A, b, c)$，$u \in U_{opt}(A, b, c)$。
  • 解的存在条件 ：当且仅当$c^Tx = u^Tb = \alpha$时，问题C1有解。
  • 解的公式 ：具有最小欧几里得范数的解$\hat{A}$是唯一的，其公式为$\hat{A} = \frac{bx^T}{x^Tx} + \frac{ug^T}{u^Tu} - \frac{\alpha ux^T}{x^Tx \cdot u^Tu}$，其中$g = (g_j) \in R^n$，$g_j = \begin{cases}0, & \