12、使用SAT求解器解决部分确定性自动机的同步问题

使用SAT求解器解决部分确定性自动机的同步问题

在自动机理论中，同步问题一直是一个重要的研究方向。同步自动机在许多应用领域，如系统和协议测试、信息编码、机器人技术等，都有着广泛的应用。本文将探讨如何使用SAT求解器来解决部分确定性自动机（PFA）的同步问题。

1. 自动机基础概念

• 非确定性有限自动机（NFA） ：一个NFA是一个三元组⟨Q, Σ, δ⟩，其中Q是有限非空状态集，Σ是有限非空输入字母表，δ是Q × Σ × Q的子集，称为转移关系。对于每个(q, a) ∈ Q × Σ，δ(q, a)表示从状态q在输入字母a下可能转移到的状态集合。当把δ看作一个函数Q × Σ → P(Q)（P(Q)是Q的幂集）时，称为转移函数。
• 部分确定性自动机（PFA）和完全确定性自动机（CFA） ：一个PFA是一个NFA ⟨Q, Σ⟩，满足对于所有(q, a) ∈ Q × Σ，|q.a| ≤ 1；而一个CFA满足|q.a| = 1。
• 同步自动机 ：一个CFA A = ⟨Q, Σ⟩是同步的，如果存在一个单词w ∈ Σ∗，使得无论从Q中的哪个状态开始应用w，自动机最终都会停在同一个状态，即对于所有q, q′ ∈ Q，q.w = q′.w。这样的单词w称为自动机的同步单词。

2. 自动机同步的不同版本

• NFA的Di - 同步 ：
  • D1 - 同步 ：对于一个NFA A = ⟨